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Theorem cdleml5N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion cdleml5N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
7 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8 1 2 3 5 6 tendo0cl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 0 ∈ 𝐸 )
9 7 8 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0 ∈ 𝐸 )
10 simpl2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
11 1 2 3 5 6 tendo0mul ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 0 ∘ 𝑈 ) = 0 )
12 7 10 11 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈 ) = 0 )
13 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
14 12 13 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
15 coeq1 ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = ( 0 ∘ 𝑈 ) )
16 15 eqeq1d ⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) )
17 16 rspcev ⊢ ( ( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
18 9 14 17 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
19 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
20 simpl2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) )
21 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑈 ≠ 0 )
22 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑉 ≠ 0 )
23 1 2 3 4 5 6 cdleml4N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
24 19 20 21 22 23 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
25 18 24 pm2.61dane ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )