Theorem cdleml9

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleml6.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdleml6.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleml6.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleml6.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ ℎ ) ) ) ) )
	cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdleml6.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝑠 ‘ ℎ ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑄 ) = 𝑌 ) )
	cdleml6.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if ( ( 𝑠 ‘ ℎ ) = ℎ , 𝑔 , 𝑋 ) )
	cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml6.o	⊢ 0 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion	cdleml9	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → 𝑈 ≠ 0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleml6.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdleml6.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleml6.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleml6.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
5		cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6		cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ ℎ ) ) ) ) )
9		cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
10		cdleml6.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝑠 ‘ ℎ ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑄 ) = 𝑌 ) )
11		cdleml6.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if ( ( 𝑠 ‘ ℎ ) = ℎ , 𝑔 , 𝑋 ) )
12		cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
13		cdleml6.o	⊢ 0 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
14	1 4 5 12 13	tendo1ne0	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( I ↾ 𝑇 ) ≠ 0 )
15	14	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( I ↾ 𝑇 ) ≠ 0 )
16	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	cdleml8	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( 𝑈 ∘ 𝑠 ) = ( I ↾ 𝑇 ) )
17	16	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑈 = 0 ) → ( 𝑈 ∘ 𝑠 ) = ( I ↾ 𝑇 ) )
18		coeq1	⊢ ( 𝑈 = 0 → ( 𝑈 ∘ 𝑠 ) = ( 0 ∘ 𝑠 ) )
19		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
20		simp3l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → 𝑠 ∈ 𝐸 )
21	1 4 5 12 13	tendo0mul	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( 0 ∘ 𝑠 ) = 0 )
22	19 20 21	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( 0 ∘ 𝑠 ) = 0 )
23	18 22	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑈 = 0 ) → ( 𝑈 ∘ 𝑠 ) = 0 )
24	17 23	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑈 = 0 ) → ( I ↾ 𝑇 ) = 0 )
25	24	ex	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( 𝑈 = 0 → ( I ↾ 𝑇 ) = 0 ) )
26	25	necon3d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → ( ( I ↾ 𝑇 ) ≠ 0 → 𝑈 ≠ 0 ) )
27	15 26	mpd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) → 𝑈 ≠ 0 )