Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
difssd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom vol → ( ℝ ∖ 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
2 |
|
elpwi |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ ) |
3 |
|
inss1 |
⊢ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ⊆ 𝑥 |
4 |
|
ovolsscl |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
5 |
3 4
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
8 |
|
difss |
⊢ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ⊆ 𝑥 |
9 |
|
ovolsscl |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
8 9
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
13 |
7 12
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
14 |
|
mblsplit |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
15 |
|
indifcom |
⊢ ( ℝ ∩ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) |
16 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → 𝑥 ⊆ ℝ ) |
17 |
16
|
ssdifssd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
18 |
|
sseqin2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ⊆ ℝ ↔ ( ℝ ∩ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) |
19 |
17 18
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( ℝ ∩ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) |
20 |
15 19
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ) |
22 |
|
difin |
⊢ ( 𝑥 ∖ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) |
23 |
20
|
difeq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∖ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑥 ∖ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ) |
24 |
22 23
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∖ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) ) |
25 |
|
dfin4 |
⊢ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑥 ∖ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) |
26 |
24 25
|
eqtr4di |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) |
27 |
26
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ) |
28 |
21 27
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ 𝐴 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
29 |
13 14 28
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ) → ( ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
31 |
2 30
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ) → ( ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom vol → ∀ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ( ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
33 |
|
ismbl |
⊢ ( ( ℝ ∖ 𝐴 ) ∈ dom vol ↔ ( ( ℝ ∖ 𝐴 ) ⊆ ℝ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ( ( vol* ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ 𝑥 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝑥 ∩ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) + ( vol* ‘ ( 𝑥 ∖ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
34 |
1 32 33
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom vol → ( ℝ ∖ 𝐴 ) ∈ dom vol ) |