| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
constrext2chn.q |
⊢ 𝑄 = ( ℂfld ↾s ℚ ) |
| 2 |
|
constrext2chn.l |
⊢ 𝐿 = ( ℂfld ↾s 𝑆 ) |
| 3 |
|
constrext2chn.s |
⊢ 𝑆 = ( ℂfld fldGen ( ℚ ∪ { 𝐴 } ) ) |
| 4 |
|
constrext2chn.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Constr ) |
| 5 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) |
| 6 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) |
| 7 |
6
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) ) |
| 8 |
7
|
3anbi1d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 9 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) |
| 10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ) |
| 11 |
10
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 12 |
11
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 13 |
8 12
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 14 |
13
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 15 |
|
id |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → 𝑘 = 𝑐 ) |
| 16 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑙 − 𝑘 ) = ( 𝑙 − 𝑐 ) ) |
| 17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) |
| 18 |
15 17
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 19 |
18
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 20 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) |
| 21 |
20
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 22 |
21
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 23 |
19 22
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 24 |
23
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 25 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑙 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
| 26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 27 |
26
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 28 |
27
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 29 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 30 |
29
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 31 |
30
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 32 |
28 31
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 33 |
32
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 34 |
24 33
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 35 |
14 34
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 36 |
35
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 37 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( 𝑚 − 𝑞 ) = ( 𝑚 − 𝑓 ) ) |
| 38 |
37
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) |
| 39 |
38
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 40 |
39
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 41 |
7
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 42 |
40 41
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 43 |
42
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 44 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑦 − 𝑘 ) = ( 𝑦 − 𝑐 ) ) |
| 45 |
44
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) |
| 46 |
45
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 47 |
46
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 49 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( 𝑚 − 𝑓 ) = ( 𝑒 − 𝑓 ) ) |
| 50 |
49
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
| 51 |
50
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 52 |
51
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 53 |
52
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 54 |
48 53
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 55 |
43 54
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 56 |
55
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 57 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( 𝑚 − 𝑞 ) = ( 𝑒 − 𝑞 ) ) |
| 58 |
57
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) |
| 59 |
58
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ) |
| 60 |
59
|
3anbi3d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ) ) |
| 61 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( 𝑒 − 𝑞 ) = ( 𝑒 − 𝑓 ) ) |
| 62 |
61
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
| 63 |
62
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 64 |
63
|
3anbi3d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 65 |
60 64
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 67 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − 𝑐 ) ) |
| 68 |
67
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) |
| 69 |
68
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 70 |
69
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 71 |
70
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 72 |
|
neeq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑖 ≠ 𝑙 ↔ 𝑖 ≠ 𝑑 ) ) |
| 73 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑦 − 𝑙 ) = ( 𝑦 − 𝑑 ) ) |
| 74 |
73
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) |
| 75 |
74
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 76 |
72 75
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 77 |
76
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 78 |
71 77
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 79 |
66 78
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 80 |
79
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 81 |
36 56 80
|
3orbi123i |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 82 |
|
id |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑎 ) |
| 83 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑗 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − 𝑎 ) ) |
| 84 |
83
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) |
| 85 |
82 84
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ) |
| 86 |
85
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 87 |
83
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) |
| 88 |
87
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 89 |
88
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 90 |
89
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 91 |
86 90
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 92 |
91
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 93 |
92
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 94 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑗 − 𝑎 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
| 95 |
94
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
| 96 |
95
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
| 97 |
96
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 98 |
94
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
| 99 |
98
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 100 |
99
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 101 |
100
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 102 |
97 101
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 103 |
102
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 104 |
103
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 105 |
93 104
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 106 |
86
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 107 |
106
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 108 |
107
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 109 |
97
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 110 |
109
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 111 |
110
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 112 |
108 111
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 113 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 ≠ 𝑑 ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) ) |
| 114 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑦 − 𝑖 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) |
| 115 |
114
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) |
| 116 |
115
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 117 |
113 116
|
3anbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 118 |
117
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 119 |
118
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 120 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑗 − 𝑐 ) = ( 𝑏 − 𝑐 ) ) |
| 121 |
120
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) |
| 122 |
121
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 123 |
122
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 124 |
123
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 125 |
124
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 126 |
119 125
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 127 |
105 112 126
|
3orbi123i |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 128 |
81 127
|
bitri |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 129 |
128
|
rabbii |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } = { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 130 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 131 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 132 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 133 |
130 131 132
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 134 |
133
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 135 |
134
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 136 |
135
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 137 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑐 ) = ( 𝑥 − 𝑐 ) ) |
| 138 |
137
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) ) |
| 139 |
138
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 140 |
130 139
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 141 |
140
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 142 |
141
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 143 |
142
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 144 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) ) |
| 145 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑎 ) = ( 𝑥 − 𝑎 ) ) |
| 146 |
145
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) ) |
| 147 |
146
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 148 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) |
| 149 |
148
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
| 150 |
149
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 151 |
144 147 150
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 152 |
151
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 153 |
152
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 154 |
153
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 155 |
136 143 154
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 156 |
155
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 157 |
129 156
|
eqtri |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 158 |
157
|
mpteq2i |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 159 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑎 ∈ 𝑧 ↔ 𝑎 ∈ 𝑠 ) ) |
| 160 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑏 ∈ 𝑧 ↔ 𝑏 ∈ 𝑠 ) ) |
| 161 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑐 ∈ 𝑧 ↔ 𝑐 ∈ 𝑠 ) ) |
| 162 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 163 |
161 162
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 164 |
163
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 165 |
160 164
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 166 |
165
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 167 |
159 166
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 168 |
167
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 169 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑒 ∈ 𝑧 ↔ 𝑒 ∈ 𝑠 ) ) |
| 170 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 171 |
169 170
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑒 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 172 |
171
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 173 |
161 172
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 174 |
173
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 175 |
160 174
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 176 |
175
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 177 |
159 176
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 178 |
177
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 179 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑑 ∈ 𝑧 ↔ 𝑑 ∈ 𝑠 ) ) |
| 180 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 181 |
169 180
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑒 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 182 |
181
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 183 |
179 182
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑑 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 184 |
183
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 185 |
161 184
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 186 |
185
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 187 |
160 186
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 188 |
187
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 189 |
159 188
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 190 |
189
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 191 |
168 178 190
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 192 |
191
|
rabbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 193 |
192
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 194 |
158 193
|
eqtri |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 195 |
|
rdgeq1 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) → rec ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) ) |
| 196 |
194 195
|
ax-mp |
⊢ rec ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) |
| 197 |
|
eqid |
⊢ ( ℂfld ↾s 𝑒 ) = ( ℂfld ↾s 𝑒 ) |
| 198 |
|
eqid |
⊢ ( ℂfld ↾s 𝑓 ) = ( ℂfld ↾s 𝑓 ) |
| 199 |
|
oveq2 |
⊢ ( ℎ = 𝑒 → ( ℂfld ↾s ℎ ) = ( ℂfld ↾s 𝑒 ) ) |
| 200 |
199
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ℂfld ↾s ℎ ) = ( ℂfld ↾s 𝑒 ) ) |
| 201 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ℂfld ↾s 𝑔 ) = ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) |
| 202 |
201
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ℂfld ↾s 𝑔 ) = ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) |
| 203 |
200 202
|
breq12d |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ( ℂfld ↾s ℎ ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ↔ ( ℂfld ↾s 𝑒 ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) ) |
| 204 |
200 202
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ( ℂfld ↾s ℎ ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ) = ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) ) |
| 205 |
204
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ( ( ℂfld ↾s ℎ ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ) = 2 ↔ ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) = 2 ) ) |
| 206 |
203 205
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒 ) → ( ( ( ℂfld ↾s ℎ ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ∧ ( ( ℂfld ↾s ℎ ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ) = 2 ) ↔ ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ∧ ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) = 2 ) ) ) |
| 207 |
206
|
cbvopabv |
⊢ { ⟨ 𝑔 , ℎ ⟩ ∣ ( ( ℂfld ↾s ℎ ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ∧ ( ( ℂfld ↾s ℎ ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑔 ) ) = 2 ) } = { ⟨ 𝑓 , 𝑒 ⟩ ∣ ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) /FldExt ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ∧ ( ( ℂfld ↾s 𝑒 ) [:] ( ℂfld ↾s 𝑓 ) ) = 2 ) } |
| 208 |
|
peano1 |
⊢ ∅ ∈ ω |
| 209 |
208
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ∅ ∈ ω ) |
| 210 |
3
|
oveq2i |
⊢ ( ℂfld ↾s 𝑆 ) = ( ℂfld ↾s ( ℂfld fldGen ( ℚ ∪ { 𝐴 } ) ) ) |
| 211 |
2 210
|
eqtri |
⊢ 𝐿 = ( ℂfld ↾s ( ℂfld fldGen ( ℚ ∪ { 𝐴 } ) ) ) |
| 212 |
196 197 198 207 209 1 211 4
|
constrext2chnlem |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑛 ∈ ℕ0 ( 𝐿 [:] 𝑄 ) = ( 2 ↑ 𝑛 ) ) |