Metamath Proof Explorer


Theorem dalem16

Description: Lemma for dath . The atoms D , E , and F form a line of perspectivity. This is Desargues's theorem for the special case where planes Y and Z are different. (Contributed by NM, 7-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalemc.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalemc.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalemc.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem16.m = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem16.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem16.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
dalem16.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
dalem16.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑆 𝑇 ) )
dalem16.e 𝐸 = ( ( 𝑄 𝑅 ) ( 𝑇 𝑈 ) )
dalem16.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑃 ) ( 𝑈 𝑆 ) )
Assertion dalem16 ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → 𝐹 ( 𝐷 𝐸 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalemc.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalemc.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalemc.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem16.m = ( meet ‘ 𝐾 )
6 dalem16.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dalem16.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
8 dalem16.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
9 dalem16.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑆 𝑇 ) )
10 dalem16.e 𝐸 = ( ( 𝑄 𝑅 ) ( 𝑇 𝑈 ) )
11 dalem16.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑃 ) ( 𝑈 𝑆 ) )
12 eqid ( 𝑌 𝑍 ) = ( 𝑌 𝑍 )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 dalem12 ( 𝜑𝐹 ( 𝑌 𝑍 ) )
14 13 adantr ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → 𝐹 ( 𝑌 𝑍 ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 12 9 dalem10 ( 𝜑𝐷 ( 𝑌 𝑍 ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 12 10 dalem11 ( 𝜑𝐸 ( 𝑌 𝑍 ) )
17 1 dalemkelat ( 𝜑𝐾 ∈ Lat )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dalemdea ( 𝜑𝐷𝐴 )
19 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
20 19 4 atbase ( 𝐷𝐴𝐷 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 18 20 syl ( 𝜑𝐷 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 10 dalemeea ( 𝜑𝐸𝐴 )
23 19 4 atbase ( 𝐸𝐴𝐸 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 22 23 syl ( 𝜑𝐸 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 1 6 dalemyeb ( 𝜑𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 1 dalemzeo ( 𝜑𝑍𝑂 )
27 19 6 lplnbase ( 𝑍𝑂𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 26 27 syl ( 𝜑𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 19 5 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑌 𝑍 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 17 25 28 29 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑌 𝑍 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 19 2 3 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐷 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐸 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 𝑍 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐷 ( 𝑌 𝑍 ) ∧ 𝐸 ( 𝑌 𝑍 ) ) ↔ ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) ) )
32 17 21 24 30 31 syl13anc ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ( 𝑌 𝑍 ) ∧ 𝐸 ( 𝑌 𝑍 ) ) ↔ ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) ) )
33 15 16 32 mpbi2and ( 𝜑 → ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) )
34 33 adantr ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) )
35 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
36 35 adantr ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → 𝐾 ∈ HL )
37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalemdnee ( 𝜑𝐷𝐸 )
38 eqid ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
39 3 4 38 llni2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐷𝐴𝐸𝐴 ) ∧ 𝐷𝐸 ) → ( 𝐷 𝐸 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
40 35 18 22 37 39 syl31anc ( 𝜑 → ( 𝐷 𝐸 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
41 40 adantr ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → ( 𝐷 𝐸 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
42 1 2 3 4 5 38 6 7 8 12 dalem15 ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → ( 𝑌 𝑍 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
43 2 38 llncmp ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐷 𝐸 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 𝑍 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) ↔ ( 𝐷 𝐸 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) )
44 36 41 42 43 syl3anc ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → ( ( 𝐷 𝐸 ) ( 𝑌 𝑍 ) ↔ ( 𝐷 𝐸 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) )
45 34 44 mpbid ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → ( 𝐷 𝐸 ) = ( 𝑌 𝑍 ) )
46 14 45 breqtrrd ( ( 𝜑𝑌𝑍 ) → 𝐹 ( 𝐷 𝐸 ) )