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Theorem dalem22

Description: Lemma for dath . Show that lines c d and P S determine a plane. (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
dalem22.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem22.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
dalem22.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
Assertion dalem22 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
6 dalem22.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dalem22.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
8 dalem22.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
9 eqid ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
10 1 2 3 4 5 9 6 7 8 dalem21 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
11 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
12 11 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
13 1 2 3 4 5 dalemcjden ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
14 1 2 3 4 6 7 dalempjsen ( 𝜑 → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
15 14 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
16 eqid ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
17 3 9 4 16 6 2llnmj ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑐 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
18 12 13 15 17 syl3anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( ( 𝑐 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
19 18 3adant2 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( ( 𝑐 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
20 10 19 mpbid ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )