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Theorem dalem21

Description: Lemma for dath . Show that lines c d and P S intersect at an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
dalem21.m = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem21.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem21.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
dalem21.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
Assertion dalem21 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
6 dalem21.m = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem21.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem21.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
9 dalem21.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
10 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
11 10 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
12 1 2 3 4 5 dalemcjden ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
13 12 3adant2 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
14 1 2 3 4 7 8 dalempjsen ( 𝜑 → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
15 14 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
16 1 2 3 4 7 8 dalemply ( 𝜑𝑃 𝑌 )
17 16 adantr ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍 ) → 𝑃 𝑌 )
18 1 2 3 4 9 dalemsly ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍 ) → 𝑆 𝑌 )
19 1 dalemkelat ( 𝜑𝐾 ∈ Lat )
20 1 4 dalempeb ( 𝜑𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 1 4 dalemseb ( 𝜑𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 1 7 dalemyeb ( 𝜑𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
24 23 2 3 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑌𝑆 𝑌 ) ↔ ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 ) )
25 19 20 21 22 24 syl13anc ( 𝜑 → ( ( 𝑃 𝑌𝑆 𝑌 ) ↔ ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 ) )
26 25 adantr ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍 ) → ( ( 𝑃 𝑌𝑆 𝑌 ) ↔ ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 ) )
27 17 18 26 mpbi2and ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍 ) → ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 )
28 27 3adant3 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 )
29 5 dalem-ccly ( 𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌 )
30 29 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → ¬ 𝑐 𝑌 )
31 19 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
32 5 4 dalemcceb ( 𝜓𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 32 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 5 dalemddea ( 𝜓𝑑𝐴 )
35 23 4 atbase ( 𝑑𝐴𝑑 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 34 35 syl ( 𝜓𝑑 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 36 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑑 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 23 2 3 latlej1 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑑 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑐 ( 𝑐 𝑑 ) )
39 31 33 37 38 syl3anc ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑐 ( 𝑐 𝑑 ) )
40 eqid ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
41 23 40 llnbase ( ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 12 41 syl ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 22 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 23 2 lattr ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑐 ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌 ) → 𝑐 𝑌 ) )
45 31 33 42 43 44 syl13anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( 𝑐 ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌 ) → 𝑐 𝑌 ) )
46 39 45 mpand ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌𝑐 𝑌 ) )
47 30 46 mtod ( ( 𝜑𝜓 ) → ¬ ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌 )
48 47 3adant2 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ¬ ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌 )
49 nbrne2 ( ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑌 ∧ ¬ ( 𝑐 𝑑 ) 𝑌 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ≠ ( 𝑐 𝑑 ) )
50 28 48 49 syl2anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ≠ ( 𝑐 𝑑 ) )
51 50 necomd ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ≠ ( 𝑃 𝑆 ) )
52 hlatl ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
53 10 52 syl ( 𝜑𝐾 ∈ AtLat )
54 53 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
55 1 dalempea ( 𝜑𝑃𝐴 )
56 1 dalemsea ( 𝜑𝑆𝐴 )
57 23 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 10 55 56 57 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 58 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 23 6 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
61 31 42 59 60 syl3anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
62 1 2 3 4 7 8 dalemcea ( 𝜑𝐶𝐴 )
63 62 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐶𝐴 )
64 5 dalemclccjdd ( 𝜓𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) )
65 64 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) )
66 1 dalemclpjs ( 𝜑𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) )
67 66 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) )
68 1 4 dalemceb ( 𝜑𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
69 68 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
70 23 2 6 latlem12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ) ↔ 𝐶 ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ) )
71 31 69 42 59 70 syl13anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( 𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ) ↔ 𝐶 ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ) )
72 65 67 71 mpbi2and ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐶 ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) )
73 eqid ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
74 23 2 73 4 atlen0 ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐶𝐴 ) ∧ 𝐶 ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
75 54 61 63 72 74 syl31anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
76 75 3adant2 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
77 6 73 4 40 2llnmat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑐 𝑑 ) ≠ ( 𝑃 𝑆 ) ∧ ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
78 11 13 15 51 76 77 syl32anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑑 ) ( 𝑃 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )