Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relcnv |
⊢ Rel ◡ dom 𝐹 |
2 |
|
dmtpos |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡ dom 𝐹 ) |
3 |
2
|
releqd |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( Rel dom tpos 𝐹 ↔ Rel ◡ dom 𝐹 ) ) |
4 |
1 3
|
mpbiri |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹 ) |
5 |
|
reltpos |
⊢ Rel tpos 𝐹 |
6 |
4 5
|
jctil |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( Rel tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos 𝐹 ) ) |
7 |
|
relrelss |
⊢ ( ( Rel tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos 𝐹 ) ↔ tpos 𝐹 ⊆ ( ( V × V ) × V ) ) |
8 |
6 7
|
sylib |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 ⊆ ( ( V × V ) × V ) ) |
9 |
8
|
sseld |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 → 𝑤 ∈ ( ( V × V ) × V ) ) ) |
10 |
|
elvvv |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( ( V × V ) × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
11 |
9 10
|
syl6ib |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) ) |
12 |
11
|
pm4.71rd |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ) ) |
13 |
|
19.41vvv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ) |
14 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∈ tpos 𝐹 ) ) |
15 |
|
df-br |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∈ tpos 𝐹 ) |
16 |
|
brtpos |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
17 |
16
|
elv |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) |
18 |
15 17
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) |
19 |
14 18
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
20 |
19
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ↔ ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
21 |
20
|
3exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
22 |
13 21
|
bitr3i |
⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
23 |
12 22
|
bitrdi |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) ) |
24 |
23
|
abbi2dv |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) } ) |
25 |
|
df-oprab |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) } |
26 |
24 25
|
eqtr4di |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 } ) |