Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
2 |
|
joiniooico |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ ∧ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) ) |
3 |
2
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ ∧ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) ) |
4 |
3
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
5 |
1 4
|
eqtr3id |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ∅ ) |
6 |
3
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
7 |
|
uncom |
⊢ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) |
9 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
10 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
12 |
9
|
xrleidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐴 ≤ 𝐴 ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐵 ≤ 𝐶 ) |
14 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
15 |
9 11 12 13 14
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
16 |
|
ssequn2 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
17 |
15 16
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
18 |
6 8 17
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
19 |
|
difeq |
⊢ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ↔ ( ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ∅ ∧ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) ) |
20 |
5 18 19
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) |
21 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
22 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
24 |
21
|
xrleidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐴 ≤ 𝐴 ) |
25 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
26 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐶 < 𝐵 ) |
27 |
25 23 26
|
xrltled |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐶 ≤ 𝐵 ) |
28 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
29 |
21 23 24 27 28
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
30 |
|
ssdif0 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ∅ ) |
31 |
29 30
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ∅ ) |
32 |
|
ico0 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) = ∅ ↔ 𝐶 ≤ 𝐵 ) ) |
33 |
32
|
biimpar |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 [,) 𝐶 ) = ∅ ) |
34 |
23 25 27 33
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( 𝐵 [,) 𝐶 ) = ∅ ) |
35 |
31 34
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) |
36 |
|
xrlelttric |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
37 |
22 10 36
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
38 |
20 35 37
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) |