Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmdprdpr.z |
⊢ 𝑍 = ( Cntz ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
dmdprdpr.0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
dmdprdpr.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) |
4 |
|
dmdprdpr.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) |
5 |
|
0ex |
⊢ ∅ ∈ V |
6 |
|
dprdsn |
⊢ ( ( ∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ∧ ( 𝐺 DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) = 𝑆 ) ) |
7 |
5 3 6
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ∧ ( 𝐺 DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) = 𝑆 ) ) |
8 |
7
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) |
9 |
|
xpscf |
⊢ ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } : 2o ⟶ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑇 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) ) |
10 |
3 4 9
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } : 2o ⟶ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) |
11 |
10
|
ffnd |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } Fn 2o ) |
12 |
5
|
prid1 |
⊢ ∅ ∈ { ∅ , 1o } |
13 |
|
df2o3 |
⊢ 2o = { ∅ , 1o } |
14 |
12 13
|
eleqtrri |
⊢ ∅ ∈ 2o |
15 |
|
fnressn |
⊢ ( ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o ) → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) = { 〈 ∅ , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) 〉 } ) |
16 |
11 14 15
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) = { 〈 ∅ , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) 〉 } ) |
17 |
|
fvpr0o |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) = 𝑆 ) |
18 |
3 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) = 𝑆 ) |
19 |
18
|
opeq2d |
⊢ ( 𝜑 → 〈 ∅ , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) 〉 = 〈 ∅ , 𝑆 〉 ) |
20 |
19
|
sneqd |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 ∅ , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ ∅ ) 〉 } = { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) |
21 |
16 20
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) = { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) |
22 |
8 21
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) |
23 |
|
1on |
⊢ 1o ∈ On |
24 |
|
dprdsn |
⊢ ( ( 1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐺 dom DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ∧ ( 𝐺 DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) = 𝑇 ) ) |
25 |
23 4 24
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ∧ ( 𝐺 DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) = 𝑇 ) ) |
26 |
25
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 dom DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) |
27 |
|
1oex |
⊢ 1o ∈ V |
28 |
27
|
prid2 |
⊢ 1o ∈ { ∅ , 1o } |
29 |
28 13
|
eleqtrri |
⊢ 1o ∈ 2o |
30 |
|
fnressn |
⊢ ( ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o ) → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) = { 〈 1o , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) 〉 } ) |
31 |
11 29 30
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) = { 〈 1o , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) 〉 } ) |
32 |
|
fvpr1o |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) = 𝑇 ) |
33 |
4 32
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) = 𝑇 ) |
34 |
33
|
opeq2d |
⊢ ( 𝜑 → 〈 1o , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) 〉 = 〈 1o , 𝑇 〉 ) |
35 |
34
|
sneqd |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 1o , ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ‘ 1o ) 〉 } = { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) |
36 |
31 35
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) = { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) |
37 |
26 36
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) |
38 |
|
1n0 |
⊢ 1o ≠ ∅ |
39 |
38
|
necomi |
⊢ ∅ ≠ 1o |
40 |
|
disjsn2 |
⊢ ( ∅ ≠ 1o → ( { ∅ } ∩ { 1o } ) = ∅ ) |
41 |
39 40
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( { ∅ } ∩ { 1o } ) = ∅ ) |
42 |
|
df-pr |
⊢ { ∅ , 1o } = ( { ∅ } ∪ { 1o } ) |
43 |
13 42
|
eqtri |
⊢ 2o = ( { ∅ } ∪ { 1o } ) |
44 |
43
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2o = ( { ∅ } ∪ { 1o } ) ) |
45 |
10 41 44 1 2
|
dmdprdsplit |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ∧ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) |
46 |
|
3anass |
⊢ ( ( ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ∧ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ↔ ( ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) |
47 |
45 46
|
bitrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) ) |
48 |
47
|
baibd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) |
49 |
48
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ∧ 𝐺 dom DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) ) |
50 |
22 37 49
|
mp2and |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ) ) |
51 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) = ( 𝐺 DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) ) |
52 |
7
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 } ) = 𝑆 ) |
53 |
51 52
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) = 𝑆 ) |
54 |
36
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) = ( 𝐺 DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) ) |
55 |
25
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd { 〈 1o , 𝑇 〉 } ) = 𝑇 ) |
56 |
54 55
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) = 𝑇 ) |
57 |
56
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝑇 ) ) |
58 |
53 57
|
sseq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ↔ 𝑆 ⊆ ( 𝑍 ‘ 𝑇 ) ) ) |
59 |
53 56
|
ineq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = ( 𝑆 ∩ 𝑇 ) ) |
60 |
59
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ↔ ( 𝑆 ∩ 𝑇 ) = { 0 } ) ) |
61 |
58 60
|
anbi12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ⊆ ( 𝑍 ‘ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { ∅ } ) ) ∩ ( 𝐺 DProd ( { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↾ { 1o } ) ) ) = { 0 } ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( 𝑍 ‘ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ∩ 𝑇 ) = { 0 } ) ) ) |
62 |
50 61
|
bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 dom DProd { 〈 ∅ , 𝑆 〉 , 〈 1o , 𝑇 〉 } ↔ ( 𝑆 ⊆ ( 𝑍 ‘ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ∩ 𝑇 ) = { 0 } ) ) ) |