Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
2 |
|
uzid |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
⊢ 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) |
4 |
|
relogbzcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
5 |
3 4
|
mpan |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
renegcld |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
7 |
|
flltp1 |
⊢ ( - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) ) |
9 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
10 |
|
fladdz |
⊢ ( ( - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) ) |
11 |
6 9 10
|
sylancl |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) ) |
12 |
5
|
recnd |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
13 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
14 |
|
negsubdi |
⊢ ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → - ( ( 2 logb 𝑅 ) − 1 ) = ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) |
15 |
|
negsubdi2 |
⊢ ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → - ( ( 2 logb 𝑅 ) − 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
16 |
14 15
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
17 |
12 13 16
|
sylancl |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) |
19 |
11 18
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) |
20 |
8 19
|
breqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) |
21 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
22 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+ ) |
24 |
|
1red |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ ) |
25 |
24 5
|
resubcld |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
25
|
flcld |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ∈ ℤ ) |
27 |
23 26
|
rpexpcld |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
28 |
27
|
rpreccld |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
29 |
|
id |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
30 |
|
logblt |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
31 |
21 28 29 30
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
32 |
|
logbrec |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) = - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) |
33 |
21 27 32
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) = - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) |
34 |
33
|
breq1d |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) ) |
35 |
|
relogbzcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
21 27 35
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
|
ltnegcon1 |
⊢ ( ( ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) ) |
38 |
36 5 37
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) ) |
39 |
31 34 38
|
3bitrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) ) |
40 |
|
nnlogbexp |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ∈ ℤ ) → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) |
41 |
21 26 40
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) |
42 |
41
|
breq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) |
43 |
39 42
|
bitrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) |
44 |
20 43
|
mpbird |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ) |