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Theorem dya2ub

Description: An upper bound for a dyadic number. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017)

Ref Expression
Assertion dya2ub ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2z 2 ∈ ℤ
2 uzid ( 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
3 1 2 ax-mp 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 )
4 relogbzcl ( ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ )
5 3 4 mpan ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ )
6 5 renegcld ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ )
7 flltp1 ( - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) )
8 6 7 syl ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) )
9 1z 1 ∈ ℤ
10 fladdz ( ( - ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) )
11 6 9 10 sylancl ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) )
12 5 recnd ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ )
13 ax-1cn 1 ∈ ℂ
14 negsubdi ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → - ( ( 2 logb 𝑅 ) − 1 ) = ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) )
15 negsubdi2 ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → - ( ( 2 logb 𝑅 ) − 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) )
16 14 15 eqtr3d ( ( ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) )
17 12 13 16 sylancl ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) = ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) )
18 17 fveq2d ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( - ( 2 logb 𝑅 ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) )
19 11 18 eqtr3d ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( ⌊ ‘ - ( 2 logb 𝑅 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) )
20 8 19 breqtrd ( 𝑅 ∈ ℝ+ → - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) )
21 3 a1i ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
22 2rp 2 ∈ ℝ+
23 22 a1i ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+ )
24 1red ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ )
25 24 5 resubcld ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ∈ ℝ )
26 25 flcld ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ∈ ℤ )
27 23 26 rpexpcld ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ )
28 27 rpreccld ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ )
29 id ( 𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+ )
30 logblt ( ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) )
31 21 28 29 30 syl3anc ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) )
32 logbrec ( ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) = - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) )
33 21 27 32 syl2anc ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) = - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) )
34 33 breq1d ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 2 logb ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ) )
35 relogbzcl ( ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
36 21 27 35 syl2anc ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
37 ltnegcon1 ( ( ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 logb 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) )
38 36 5 37 syl2anc ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < ( 2 logb 𝑅 ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) )
39 31 34 38 3bitrd ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ) )
40 nnlogbexp ( ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ∈ ℤ ) → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) )
41 21 26 40 syl2anc ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) )
42 41 breq2d ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( - ( 2 logb 𝑅 ) < ( 2 logb ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) )
43 39 42 bitrd ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 ↔ - ( 2 logb 𝑅 ) < ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) )
44 20 43 mpbird ( 𝑅 ∈ ℝ+ → ( 1 / ( 2 ↑ ( ⌊ ‘ ( 1 − ( 2 logb 𝑅 ) ) ) ) ) < 𝑅 )