Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
efgval.w |
⊢ 𝑊 = ( I ‘ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
2 |
|
efgval.r |
⊢ ∼ = ( ~FG ‘ 𝐼 ) |
3 |
|
efgval2.m |
⊢ 𝑀 = ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) |
4 |
|
efgval2.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑣 ∈ 𝑊 ↦ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑣 ) ) , 𝑤 ∈ ( 𝐼 × 2o ) ↦ ( 𝑣 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 𝑤 ( 𝑀 ‘ 𝑤 ) ”〉 〉 ) ) ) |
5 |
|
efgred.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) |
6 |
|
efgred.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑚 ∈ { 𝑡 ∈ ( Word 𝑊 ∖ { ∅ } ) ∣ ( ( 𝑡 ‘ 0 ) ∈ 𝐷 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑡 ) ) ( 𝑡 ‘ 𝑘 ) ∈ ran ( 𝑇 ‘ ( 𝑡 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) } ↦ ( 𝑚 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑚 ) − 1 ) ) ) |
7 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑊 ) |
8 |
7 5
|
eleq2s |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝑊 ) |
9 |
8
|
s1cld |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ Word 𝑊 ) |
10 |
|
s1nz |
⊢ 〈“ 𝐴 ”〉 ≠ ∅ |
11 |
|
eldifsn |
⊢ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ ( Word 𝑊 ∖ { ∅ } ) ↔ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ Word 𝑊 ∧ 〈“ 𝐴 ”〉 ≠ ∅ ) ) |
12 |
9 10 11
|
sylanblrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ ( Word 𝑊 ∖ { ∅ } ) ) |
13 |
|
s1fv |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
14 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐷 ) |
15 |
13 14
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 0 ) ∈ 𝐷 ) |
16 |
|
s1len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) = 1 |
17 |
16
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) = 1 ) |
18 |
17
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) = ( 1 ..^ 1 ) ) |
19 |
|
fzo0 |
⊢ ( 1 ..^ 1 ) = ∅ |
20 |
18 19
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) = ∅ ) |
21 |
|
rzal |
⊢ ( ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) = ∅ → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 𝑖 ) ∈ ran ( 𝑇 ‘ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 𝑖 ) ∈ ran ( 𝑇 ‘ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) |
23 |
1 2 3 4 5 6
|
efgsdm |
⊢ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ dom 𝑆 ↔ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ ( Word 𝑊 ∖ { ∅ } ) ∧ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 0 ) ∈ 𝐷 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 ”〉 ) ) ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ 𝑖 ) ∈ ran ( 𝑇 ‘ ( 〈“ 𝐴 ”〉 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) |
24 |
12 15 22 23
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐷 → 〈“ 𝐴 ”〉 ∈ dom 𝑆 ) |