Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
esumadd.0 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
esumadd.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
3 |
|
esumadd.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
4 |
|
esumle.3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ 𝐶 ) |
5 |
|
iccssxr |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ* |
6 |
2
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
7 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑘 𝐴 |
8 |
7
|
esumcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
9 |
1 6 8
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
10 |
5 9
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ* ) |
11 |
5 3
|
sselid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
12 |
5 2
|
sselid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
13 |
12
|
xnegcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → -𝑒 𝐵 ∈ ℝ* ) |
14 |
11 13
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
15 |
|
xsubge0 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 0 ≤ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) |
16 |
11 12 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → ( 0 ≤ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) |
17 |
4 16
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) |
18 |
|
pnfge |
⊢ ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* → ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) |
19 |
14 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) |
20 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
21 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
22 |
|
elicc1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) ) ) |
23 |
20 21 22
|
mp2an |
⊢ ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) ) |
24 |
14 17 19 23
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
25 |
24
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
26 |
7
|
esumcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
27 |
1 25 26
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
28 |
5 27
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
29 |
20
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ* ) |
30 |
21
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* ) |
31 |
|
elicc4 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) → ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) ) ) |
32 |
29 30 28 31
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) ) ) |
33 |
27 32
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ≤ +∞ ) ) |
34 |
33
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) |
35 |
|
xraddge02 |
⊢ ( ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) → ( 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) ) ) |
36 |
35
|
imp |
⊢ ( ( ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) ∧ 0 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) ) |
37 |
10 28 34 36
|
syl21anc |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) ) |
38 |
|
xaddcom |
⊢ ( ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) → ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) = ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ) ) |
39 |
10 28 38
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) = ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ) ) |
40 |
37 39
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ) ) |
41 |
1 24 2
|
esumadd |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 𝐵 ) = ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ) ) |
42 |
|
xrge0npcan |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 𝐵 ) = 𝐶 ) |
43 |
3 2 4 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 𝐵 ) = 𝐶 ) |
44 |
43
|
esumeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 𝐵 ) = Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ) |
45 |
41 44
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 ( 𝐶 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) +𝑒 Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ) = Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ) |
46 |
40 45
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ* 𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ) |