Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ufilfil |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) → 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ) |
2 |
|
filfbas |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) → 𝐿 ∈ ( fBas ‘ 𝑌 ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) → 𝐿 ∈ ( fBas ‘ 𝑌 ) ) |
4 |
|
fmfil |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( fBas ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
5 |
3 4
|
syl3an2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
6 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ) |
7 |
6 1 2
|
3syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → 𝐿 ∈ ( fBas ‘ 𝑌 ) ) |
8 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
9 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) |
10 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) |
11 |
7 8 9 10
|
fmfnfm |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) |
12 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ) |
13 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ) |
14 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → 𝐿 ⊆ 𝑔 ) |
15 |
|
ufilmax |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔 ) → 𝐿 = 𝑔 ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → 𝐿 = 𝑔 ) |
17 |
16
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) |
18 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) |
19 |
17 18
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = 𝑓 ) |
20 |
11 19
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 ) ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = 𝑓 ) |
21 |
20
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = 𝑓 ) ) |
22 |
21
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ( ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = 𝑓 ) ) |
23 |
|
isufil2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( UFil ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ( ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ 𝑓 → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) = 𝑓 ) ) ) |
24 |
5 22 23
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ( UFil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( UFil ‘ 𝑋 ) ) |