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Theorem frrlem15

Description: Lemma for general well-founded recursion. Two acceptable functions are compatible. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023)

Ref Expression
Hypotheses frrlem15.1 ⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑓 Fn 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ⊆ 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐺 ( 𝑓 ↾ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ) ) ) }
frrlem15.2 ⊢ 𝐹 = frecs ( 𝑅 , 𝐴 , 𝐺 )
Assertion frrlem15 ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 frrlem15.1 ⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑓 Fn 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ⊆ 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐺 ( 𝑓 ↾ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ) ) ) }
2 frrlem15.2 ⊢ 𝐹 = frecs ( 𝑅 , 𝐴 , 𝐺 )
3 vex ⊢ 𝑥 ∈ V
4 vex ⊢ 𝑢 ∈ V
5 3 4 breldm ⊢ ( 𝑥 𝑔 𝑢 → 𝑥 ∈ dom 𝑔 )
6 5 adantr ⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ dom 𝑔 )
7 vex ⊢ 𝑣 ∈ V
8 3 7 breldm ⊢ ( 𝑥 ℎ 𝑣 → 𝑥 ∈ dom ℎ )
9 8 adantl ⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ dom ℎ )
10 6 9 elind ⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
11 id ⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) )
12 4 brresi ⊢ ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ↔ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) )
13 7 brresi ⊢ ( 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ↔ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) )
14 12 13 anbi12i ⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
15 an4 ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
16 14 15 bitri ⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
17 10 10 11 16 syl21anbrc ⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
18 inss1 ⊢ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ dom 𝑔
19 1 frrlem3 ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐵 → dom 𝑔 ⊆ 𝐴 )
20 18 19 sstrid ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐵 → ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 )
21 20 ad2antrl ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 )
22 simpll ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Fr 𝐴 )
23 frss ⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Fr 𝐴 → 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
24 21 22 23 sylc ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
25 simplr ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se 𝐴 )
26 sess2 ⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
27 21 25 26 sylc ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
28 1 frrlem4 ⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
29 28 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
30 1 frrlem4 ⊢ ( ( ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) ) )
31 incom ⊢ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 )
32 31 reseq2i ⊢ ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) )
33 fneq12 ⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ∧ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ↔ ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) )
34 32 31 33 mp2an ⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ↔ ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) )
35 32 fveq1i ⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 )
36 predeq2 ⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) → Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) = Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) )
37 31 36 ax-mp ⊢ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) = Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 )
38 32 37 reseq12i ⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) = ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) )
39 38 oveq2i ⊢ ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) )
40 35 39 eqeq12i ⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ↔ ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) )
41 31 40 raleqbii ⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) )
42 34 41 anbi12i ⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ↔ ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) ) )
43 30 42 sylibr ⊢ ( ( ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
44 43 ancoms ⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
45 44 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
46 frr3g ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ) → ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
47 24 27 29 45 46 syl211anc ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
48 47 breqd ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ↔ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
49 48 biimprd ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 → 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
50 1 frrlem2 ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐵 → Fun 𝑔 )
51 50 funresd ⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐵 → Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
52 51 ad2antrl ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
53 dffun2 ⊢ ( Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↔ ( Rel ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) )
54 2sp ⊢ ( ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
55 54 sps ⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
56 53 55 simplbiim ⊢ ( Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
57 52 56 syl ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
58 49 57 sylan2d ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
59 17 58 syl5 ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )