Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gexcl.1 |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
gexcl.2 |
⊢ 𝐸 = ( gEx ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
gexid.3 |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
gexid.4 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → 𝐸 ∥ 𝑁 ) |
6 |
|
dvdszrcl |
⊢ ( 𝐸 ∥ 𝑁 → ( 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
7 |
|
divides |
⊢ ( ( 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 ) ) |
8 |
6 7
|
biadanii |
⊢ ( 𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ( ( 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 ) ) |
9 |
5 8
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 ) ) |
10 |
9
|
simprd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 ) |
11 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
12 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
13 |
9
|
simplld |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → 𝐸 ∈ ℤ ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝐸 ∈ ℤ ) |
15 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
16 |
1 3
|
mulgass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝐸 ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝐸 · 𝐴 ) ) ) |
17 |
11 12 14 15 16
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐸 ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝐸 · 𝐴 ) ) ) |
18 |
1 2 3 4
|
gexid |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑋 → ( 𝐸 · 𝐴 ) = 0 ) |
19 |
15 18
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝐸 · 𝐴 ) = 0 ) |
20 |
19
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · ( 𝐸 · 𝐴 ) ) = ( 𝑥 · 0 ) ) |
21 |
1 3 4
|
mulgz |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 0 ) = 0 ) |
22 |
21
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 0 ) = 0 ) |
23 |
17 20 22
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐸 ) · 𝐴 ) = 0 ) |
24 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 → ( ( 𝑥 · 𝐸 ) · 𝐴 ) = ( 𝑁 · 𝐴 ) ) |
25 |
24
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 → ( ( ( 𝑥 · 𝐸 ) · 𝐴 ) = 0 ↔ ( 𝑁 · 𝐴 ) = 0 ) ) |
26 |
23 25
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 → ( 𝑁 · 𝐴 ) = 0 ) ) |
27 |
26
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝐸 ) = 𝑁 → ( 𝑁 · 𝐴 ) = 0 ) ) |
28 |
10 27
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) = 0 ) |