Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgass.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
mulgass.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
4 |
|
elznn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ ↔ ( 𝑀 ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) ) |
5 |
4
|
simprbi |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) |
6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) |
7 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
8 |
|
elznn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ ↔ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ) |
9 |
8
|
simprbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
11 |
|
grpmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd ) |
12 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
13 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
14 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
15 |
|
simplr3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
16 |
1 2
|
mulgnn0ass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
17 |
12 13 14 15 16
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
18 |
17
|
ex |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
19 |
3
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
20 |
7
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
21 |
19 20
|
mulneg1d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑀 · 𝑁 ) = - ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑀 · 𝑁 ) = - ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
23 |
22
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
24 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
25 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
26 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
27 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
29 |
1 2
|
mulgnn0ass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
30 |
24 25 26 28 29
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
31 |
23 30
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
32 |
|
fveq2 |
⊢ ( ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
33 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
34 |
3 7
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( invg ‘ 𝐺 ) = ( invg ‘ 𝐺 ) |
36 |
1 2 35
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) |
37 |
33 34 27 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) |
38 |
37
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) ) |
39 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
40 |
33 34 27 39
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
41 |
1 35
|
grpinvinv |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
42 |
40 41
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
43 |
38 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
44 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
45 |
33 7 27 44
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
46 |
1 2 35
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
47 |
33 3 45 46
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
48 |
47
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) ) |
49 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) |
50 |
33 3 45 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) |
51 |
1 35
|
grpinvinv |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
52 |
50 51
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
53 |
48 52
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
54 |
43 53
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ↔ ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
55 |
32 54
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
56 |
55
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
57 |
31 56
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
58 |
57
|
ex |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
59 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
60 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
61 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
62 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
63 |
1 2
|
mulgnn0ass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
64 |
59 60 61 62 63
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
65 |
19 20
|
mulneg2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · - 𝑁 ) = - ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
66 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 · - 𝑁 ) = - ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
67 |
66
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
68 |
1 2 35
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
69 |
33 7 27 68
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
71 |
1 2 35
|
mulgneg2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
72 |
33 3 45 71
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
73 |
70 72
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
74 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
75 |
64 67 74
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
76 |
75 56
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
77 |
76
|
ex |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
78 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
79 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
80 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
81 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
82 |
1 2
|
mulgnn0ass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
83 |
78 79 80 81 82
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( - 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
84 |
19 20
|
mul2negd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑀 · - 𝑁 ) = ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
85 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
86 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑀 · - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
87 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
88 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
89 |
|
nn0z |
⊢ ( - 𝑁 ∈ ℕ0 → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
90 |
89
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
91 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
92 |
87 90 81 91
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
93 |
1 2 35
|
mulgneg2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
94 |
87 88 92 93
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
95 |
1 2 35
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
96 |
87 90 81 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
97 |
20
|
negnegd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → - - 𝑁 = 𝑁 ) |
98 |
97
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - - 𝑁 = 𝑁 ) |
99 |
98
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - - 𝑁 · 𝑋 ) = ( 𝑁 · 𝑋 ) ) |
100 |
96 99
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑁 · 𝑋 ) ) |
101 |
100
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 · ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
102 |
94 101
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑀 · ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
103 |
83 86 102
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
104 |
103
|
ex |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
105 |
18 58 77 104
|
ccased |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
106 |
6 10 105
|
mp2and |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |