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Theorem hoadddi

Description: Scalar product distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hoadddi ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
2 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
3 2 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
4 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
5 4 3ad2antl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
6 ax-hvdistr1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
7 1 3 5 6 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
8 hosval ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
9 8 oveq2d ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
10 9 3expa ⊢ ( ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
11 10 3adantl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) +ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
12 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
13 12 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
14 13 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
15 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
16 15 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
17 16 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) )
18 14 17 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑈 ‘ 𝑥 ) ) ) )
19 7 11 18 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
20 hoaddcl ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
21 20 anim2i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
22 21 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
23 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
24 23 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
25 22 24 sylan ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝑇 +op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
26 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
27 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
28 26 27 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
29 28 3impdi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
30 hosval ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
31 30 3expa ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
32 29 31 sylan ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ‘ 𝑥 ) ) )
33 19 25 32 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
34 33 ralrimiva ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) )
35 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 +op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
36 20 35 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
37 36 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
38 hoaddcl ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
39 26 27 38 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
40 39 3impdi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
41 hoeq ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ) )
42 37 40 41 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) ) )
43 34 42 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐴 ·op 𝑈 ) ) )