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Theorem hoadddir

Description: Scalar product reverse distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hoadddir ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 addcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
2 1 anim1i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) )
3 2 3impa ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) )
4 homval ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
5 4 3expa ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
6 3 5 sylan ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
7 homval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
8 7 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
9 8 3adantl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
10 homval ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
11 10 3expa ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
12 11 3adantl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
13 9 12 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
14 ffvelrn ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
15 ax-hvdistr2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
16 14 15 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17 16 3exp ⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐵 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
18 17 exp4a ⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
19 18 3imp1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) +ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
20 13 19 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
21 6 20 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
22 homulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
23 homulcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
24 22 23 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
25 24 3impdir ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
26 hosval ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
27 26 3expa ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
28 25 27 sylan ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) +ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
29 21 28 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) )
30 29 ralrimiva ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) )
31 homulcl ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
32 1 31 stoic3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
33 hoaddcl ⊢ ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
34 22 23 33 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
35 34 3impdir ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
36 hoeq ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ) )
37 32 35 36 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ) )
38 30 37 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( ( 𝐴 ·op 𝑇 ) +op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) )