Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
irrdifflemf.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
irrdifflemf.irr |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) |
3 |
|
irrdifflemf.q |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ ) |
4 |
|
irrdifflemf.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ ) |
5 |
|
irrdifflemf.qr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅 ) |
6 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝜑 ) |
7 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
8 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
10 |
7 8 9
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
11 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
13 |
|
qre |
⊢ ( 𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ ) |
14 |
3 13
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ℂ ) |
17 |
|
qre |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ ) |
18 |
4 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
21 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
22 |
12 16 20 21
|
subcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑄 = 𝑅 ) |
23 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑄 ≠ 𝑅 ) |
24 |
22 23
|
pm2.21ddne |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
25 |
6 10 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
26 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝜑 ) |
27 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
28 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) |
29 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
30 |
27 28 29
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
31 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
32 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
33 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
35 |
32
|
2timesd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 2 · 𝐴 ) = ( 𝐴 + 𝐴 ) ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
37 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
38 |
32 37
|
negsubdi2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → - ( 𝐴 − 𝑅 ) = ( 𝑅 − 𝐴 ) ) |
39 |
36 38
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝑅 − 𝐴 ) ) |
40 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ℂ ) |
41 |
40 37 32 32
|
addsubeq4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( ( 𝑄 + 𝑅 ) = ( 𝐴 + 𝐴 ) ↔ ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝑅 − 𝐴 ) ) ) |
42 |
39 41
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝑄 + 𝑅 ) = ( 𝐴 + 𝐴 ) ) |
43 |
35 42
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 2 · 𝐴 ) = ( 𝑄 + 𝑅 ) ) |
44 |
31 32 34 43
|
mvllmuld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝐴 = ( ( 𝑄 + 𝑅 ) / 2 ) ) |
45 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ℚ ) |
46 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ℚ ) |
47 |
|
qaddcl |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ ) → ( 𝑄 + 𝑅 ) ∈ ℚ ) |
48 |
45 46 47
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝑄 + 𝑅 ) ∈ ℚ ) |
49 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
50 |
|
zq |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ ) |
51 |
49 50
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 2 ∈ ℚ ) |
52 |
|
qdivcl |
⊢ ( ( ( 𝑄 + 𝑅 ) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0 ) → ( ( 𝑄 + 𝑅 ) / 2 ) ∈ ℚ ) |
53 |
48 51 34 52
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( ( 𝑄 + 𝑅 ) / 2 ) ∈ ℚ ) |
54 |
44 53
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝐴 ∈ ℚ ) |
55 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) |
56 |
54 55
|
pm2.21fal |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
57 |
26 30 56
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
58 |
1 18
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
59 |
58
|
absord |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ∨ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
60 |
59
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ∨ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
61 |
25 57 60
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ) → ⊥ ) |
62 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝜑 ) |
63 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
64 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) |
65 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
66 |
63 64 65
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑅 ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) |
67 |
58
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
68 |
67
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
69 |
1 14
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑄 ) ∈ ℝ ) |
70 |
69
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑄 ) ∈ ℂ ) |
71 |
70
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) ∈ ℂ ) |
72 |
|
negcon2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝑄 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝑅 ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ↔ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
73 |
68 71 72
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( ( 𝐴 − 𝑅 ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ↔ ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
74 |
66 73
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
75 |
62 74 56
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
76 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → 𝜑 ) |
77 |
70
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) ∈ ℂ ) |
78 |
67
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
79 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
80 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) |
81 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
82 |
79 80 81
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → - ( 𝐴 − 𝑄 ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
83 |
77 78 82
|
neg11d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ( 𝐴 − 𝑄 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ) |
84 |
76 83 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) |
85 |
59
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) ∨ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
86 |
75 84 85
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) → ⊥ ) |
87 |
69
|
absord |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ∨ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ) |
88 |
87
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( 𝐴 − 𝑄 ) ∨ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = - ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ) |
89 |
61 86 88
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) → ⊥ ) |
90 |
89
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) ) |
91 |
|
df-ne |
⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ≠ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |
92 |
|
dfnot |
⊢ ( ¬ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) ) |
93 |
91 92
|
bitri |
⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ≠ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) → ⊥ ) ) |
94 |
90 93
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) ≠ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑅 ) ) ) |