Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
islshpsm.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
islshpsm.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
islshpsm.s |
⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
islshpsm.p |
⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
islshpsm.h |
⊢ 𝐻 = ( LSHyp ‘ 𝑊 ) |
6 |
|
islshpsm.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod ) |
7 |
1 2 3 5
|
islshp |
⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |
9 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → 𝑊 ∈ LMod ) |
10 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → 𝑈 ∈ 𝑆 ) |
11 |
3 2
|
lspid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) = 𝑈 ) |
12 |
9 10 11
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) = 𝑈 ) |
13 |
12
|
uneq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑈 ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) |
14 |
13
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) ) |
15 |
1 3
|
lssss |
⊢ ( 𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉 ) |
16 |
10 15
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → 𝑈 ⊆ 𝑉 ) |
17 |
|
snssi |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑉 → { 𝑣 } ⊆ 𝑉 ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → { 𝑣 } ⊆ 𝑉 ) |
19 |
1 2
|
lspun |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ { 𝑣 } ⊆ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) ) |
20 |
9 16 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑁 ‘ 𝑈 ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) ) |
21 |
1 3 2
|
lspcl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ { 𝑣 } ⊆ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ∈ 𝑆 ) |
22 |
9 18 21
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ∈ 𝑆 ) |
23 |
3 2 4
|
lsmsp |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) ) |
24 |
9 10 22 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) ) ) |
25 |
14 20 24
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) ) |
26 |
25
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ↔ ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) |
27 |
26
|
rexbidva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) |
28 |
27
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ↔ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |
29 |
28
|
bicomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ↔ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |
30 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ↔ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) |
31 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ↔ ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) |
32 |
29 30 31
|
3bitr4g |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ ( 𝑈 ∪ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ↔ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |
33 |
8 32
|
bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ( 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 ( 𝑈 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑣 } ) ) = 𝑉 ) ) ) |