Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhp2at.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
lhp2at.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
lhp2at.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
5 |
1 2 3
|
lhpexle1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) |
7 |
4 6
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ) |
8 |
|
necom |
⊢ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝 ) |
9 |
8
|
3anbi3i |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) |
10 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ) |
11 |
9 10
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ) |
12 |
11
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ) |
13 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ) |
14 |
12 13
|
bitr2i |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝 ) ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ) |
15 |
7 14
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ) |
16 |
1 2 3
|
lhpexle |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
17 |
15 16
|
reximddv |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ) |