Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lssacsex.1 |
⊢ 𝐴 = ( LSubSp ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
lssacsex.2 |
⊢ 𝑁 = ( mrCls ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
lssacsex.3 |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
lveclmod |
⊢ ( 𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod ) |
5 |
3 1
|
lssacs |
⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ ( ACS ‘ 𝑋 ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ ( ACS ‘ 𝑋 ) ) |
7 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑊 ∈ LVec ) |
8 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) |
9 |
8
|
elpwid |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑠 ⊆ 𝑋 ) |
10 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( LSpan ‘ 𝑊 ) = ( LSpan ‘ 𝑊 ) |
13 |
1 12 2
|
mrclsp |
⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( LSpan ‘ 𝑊 ) = 𝑁 ) |
14 |
7 4 13
|
3syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → ( LSpan ‘ 𝑊 ) = 𝑁 ) |
15 |
14
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ) |
16 |
14
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) |
17 |
15 16
|
difeq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → ( ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) |
18 |
11 17
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
19 |
3 1 12
|
lspsolv |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ ( 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ( ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
20 |
7 9 10 18 19
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
21 |
14
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → ( ( LSpan ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
22 |
20 21
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
23 |
22
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) 𝑦 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) 𝑦 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
25 |
24
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝑊 ∈ LVec → ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) 𝑦 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) |
26 |
6 25
|
jca |
⊢ ( 𝑊 ∈ LVec → ( 𝐴 ∈ ( ACS ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑦 } ) ) ∖ ( 𝑁 ‘ 𝑠 ) ) 𝑦 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝑠 ∪ { 𝑧 } ) ) ) ) |