Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mat2pmatbas.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) |
2 |
|
mat2pmatbas.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
3 |
|
mat2pmatbas.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
mat2pmatbas.p |
⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
mat2pmatbas.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑁 Mat 𝑃 ) |
6 |
|
mat2pmatbas0.h |
⊢ 𝐻 = ( Base ‘ 𝐶 ) |
7 |
|
mat2pmatlin.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
8 |
|
mat2pmatlin.s |
⊢ 𝑆 = ( algSc ‘ 𝑃 ) |
9 |
|
mat2pmatlin.m |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) |
10 |
|
mat2pmatlin.n |
⊢ × = ( ·𝑠 ‘ 𝐶 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
12 |
4
|
ply1assa |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ 𝑃 ) = ( Scalar ‘ 𝑃 ) |
14 |
8 13
|
asclrhm |
⊢ ( 𝑃 ∈ AssAlg → 𝑆 ∈ ( ( Scalar ‘ 𝑃 ) RingHom 𝑃 ) ) |
15 |
11 12 14
|
3syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑆 ∈ ( ( Scalar ‘ 𝑃 ) RingHom 𝑃 ) ) |
16 |
4
|
ply1sca |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑃 ) ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑃 ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑅 RingHom 𝑃 ) = ( ( Scalar ‘ 𝑃 ) RingHom 𝑃 ) ) |
19 |
15 18
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑆 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑃 ) ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑃 ) ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑃 ) ) |
22 |
7
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ↔ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
23 |
22
|
biimpi |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐾 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
25 |
24
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
27 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
28 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ 𝑁 ) |
29 |
28
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ 𝑁 ) |
30 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
31 |
2 26 3 27 29 30
|
matecld |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
33 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑃 ) = ( .r ‘ 𝑃 ) |
34 |
26 32 33
|
rhmmul |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑃 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑋 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) ) |
35 |
21 25 31 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑋 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) ) |
36 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
37 |
36
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
38 |
37
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
39 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
41 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) |
42 |
2 3 7 9 32
|
matvscacell |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) = ( 𝑋 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
43 |
38 40 41 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) = ( 𝑋 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
44 |
43
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑋 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) ) |
45 |
36
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
46 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
47 |
45 46
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
48 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
49 |
47 48
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
50 |
1 2 3 4 8
|
mat2pmatvalel |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
51 |
49 50
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
52 |
51
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) ) |
53 |
35 44 52
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) ) ) |
54 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
55 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
56 |
7 2 3 9
|
matvscl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
57 |
45 56
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
58 |
57
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
59 |
1 2 3 4 8
|
mat2pmatvalel |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) ) ) |
60 |
55 38 58 41 59
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑖 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝑗 ) ) ) |
61 |
4
|
ply1ring |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring ) |
62 |
36 61
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring ) |
63 |
62
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
65 |
36
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
66 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝐾 ) |
67 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 ) |
68 |
4 8 7 67
|
ply1sclcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
69 |
65 66 68
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
70 |
1 2 3 4 5 6
|
mat2pmatbas0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) |
71 |
49 70
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) |
72 |
69 71
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) ) |
73 |
72
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) ) |
74 |
5 6 67 10 33
|
matvscacell |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) ) ) |
75 |
64 73 41 74
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) 𝑗 ) ) ) |
76 |
53 60 75
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) ) |
77 |
76
|
ralrimivva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) ) |
78 |
1 2 3 4 5 6
|
mat2pmatbas0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ) |
79 |
54 37 57 78
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ) |
80 |
67 5 6 10
|
matvscl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ) ∧ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ) |
81 |
54 63 72 80
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ) |
82 |
5 6
|
eqmat |
⊢ ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ∧ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐻 ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) ) ) |
83 |
79 81 82
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) 𝑗 ) ) ) |
84 |
77 83
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) × ( 𝑇 ‘ 𝑌 ) ) ) |