Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mat2pmatbas.t |
|- T = ( N matToPolyMat R ) |
2 |
|
mat2pmatbas.a |
|- A = ( N Mat R ) |
3 |
|
mat2pmatbas.b |
|- B = ( Base ` A ) |
4 |
|
mat2pmatbas.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
5 |
|
mat2pmatbas.c |
|- C = ( N Mat P ) |
6 |
|
mat2pmatbas0.h |
|- H = ( Base ` C ) |
7 |
|
mat2pmatlin.k |
|- K = ( Base ` R ) |
8 |
|
mat2pmatlin.s |
|- S = ( algSc ` P ) |
9 |
|
mat2pmatlin.m |
|- .x. = ( .s ` A ) |
10 |
|
mat2pmatlin.n |
|- .X. = ( .s ` C ) |
11 |
|
simpr |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R e. CRing ) |
12 |
4
|
ply1assa |
|- ( R e. CRing -> P e. AssAlg ) |
13 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` P ) = ( Scalar ` P ) |
14 |
8 13
|
asclrhm |
|- ( P e. AssAlg -> S e. ( ( Scalar ` P ) RingHom P ) ) |
15 |
11 12 14
|
3syl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> S e. ( ( Scalar ` P ) RingHom P ) ) |
16 |
4
|
ply1sca |
|- ( R e. CRing -> R = ( Scalar ` P ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R = ( Scalar ` P ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R RingHom P ) = ( ( Scalar ` P ) RingHom P ) ) |
19 |
15 18
|
eleqtrrd |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> S e. ( R RingHom P ) ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> S e. ( R RingHom P ) ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> S e. ( R RingHom P ) ) |
22 |
7
|
eleq2i |
|- ( X e. K <-> X e. ( Base ` R ) ) |
23 |
22
|
biimpi |
|- ( X e. K -> X e. ( Base ` R ) ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` R ) ) |
25 |
24
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> X e. ( Base ` R ) ) |
26 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
27 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N ) |
28 |
|
simpr |
|- ( ( i e. N /\ j e. N ) -> j e. N ) |
29 |
28
|
adantl |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N ) |
30 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> Y e. B ) |
31 |
2 26 3 27 29 30
|
matecld |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i Y j ) e. ( Base ` R ) ) |
32 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
33 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
34 |
26 32 33
|
rhmmul |
|- ( ( S e. ( R RingHom P ) /\ X e. ( Base ` R ) /\ ( i Y j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( S ` ( X ( .r ` R ) ( i Y j ) ) ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( S ` ( i Y j ) ) ) ) |
35 |
21 25 31 34
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( S ` ( X ( .r ` R ) ( i Y j ) ) ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( S ` ( i Y j ) ) ) ) |
36 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
37 |
36
|
ad2antlr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> R e. Ring ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring ) |
39 |
|
simpr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( X e. K /\ Y e. B ) ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( X e. K /\ Y e. B ) ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i e. N /\ j e. N ) ) |
42 |
2 3 7 9 32
|
matvscacell |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( X .x. Y ) j ) = ( X ( .r ` R ) ( i Y j ) ) ) |
43 |
38 40 41 42
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( X .x. Y ) j ) = ( X ( .r ` R ) ( i Y j ) ) ) |
44 |
43
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( S ` ( i ( X .x. Y ) j ) ) = ( S ` ( X ( .r ` R ) ( i Y j ) ) ) ) |
45 |
36
|
anim2i |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) |
46 |
|
simpr |
|- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. B ) |
47 |
45 46
|
anim12i |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. B ) ) |
48 |
|
df-3an |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. B ) ) |
49 |
47 48
|
sylibr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. B ) ) |
50 |
1 2 3 4 8
|
mat2pmatvalel |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` Y ) j ) = ( S ` ( i Y j ) ) ) |
51 |
49 50
|
sylan |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` Y ) j ) = ( S ` ( i Y j ) ) ) |
52 |
51
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` Y ) j ) ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( S ` ( i Y j ) ) ) ) |
53 |
35 44 52
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( S ` ( i ( X .x. Y ) j ) ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` Y ) j ) ) ) |
54 |
|
simpll |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> N e. Fin ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N e. Fin ) |
56 |
7 2 3 9
|
matvscl |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( X .x. Y ) e. B ) |
57 |
45 56
|
sylan |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( X .x. Y ) e. B ) |
58 |
57
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( X .x. Y ) e. B ) |
59 |
1 2 3 4 8
|
mat2pmatvalel |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( X .x. Y ) e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( S ` ( i ( X .x. Y ) j ) ) ) |
60 |
55 38 58 41 59
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( S ` ( i ( X .x. Y ) j ) ) ) |
61 |
4
|
ply1ring |
|- ( R e. Ring -> P e. Ring ) |
62 |
36 61
|
syl |
|- ( R e. CRing -> P e. Ring ) |
63 |
62
|
ad2antlr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> P e. Ring ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> P e. Ring ) |
65 |
36
|
adantl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R e. Ring ) |
66 |
|
simpl |
|- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> X e. K ) |
67 |
|
eqid |
|- ( Base ` P ) = ( Base ` P ) |
68 |
4 8 7 67
|
ply1sclcl |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. K ) -> ( S ` X ) e. ( Base ` P ) ) |
69 |
65 66 68
|
syl2an |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( S ` X ) e. ( Base ` P ) ) |
70 |
1 2 3 4 5 6
|
mat2pmatbas0 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( T ` Y ) e. H ) |
71 |
49 70
|
syl |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( T ` Y ) e. H ) |
72 |
69 71
|
jca |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( ( S ` X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` Y ) e. H ) ) |
73 |
72
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( S ` X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` Y ) e. H ) ) |
74 |
5 6 67 10 33
|
matvscacell |
|- ( ( P e. Ring /\ ( ( S ` X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` Y ) e. H ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` Y ) j ) ) ) |
75 |
64 73 41 74
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) = ( ( S ` X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` Y ) j ) ) ) |
76 |
53 60 75
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) ) |
77 |
76
|
ralrimivva |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) ) |
78 |
1 2 3 4 5 6
|
mat2pmatbas0 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( X .x. Y ) e. B ) -> ( T ` ( X .x. Y ) ) e. H ) |
79 |
54 37 57 78
|
syl3anc |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( T ` ( X .x. Y ) ) e. H ) |
80 |
67 5 6 10
|
matvscl |
|- ( ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) /\ ( ( S ` X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` Y ) e. H ) ) -> ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) e. H ) |
81 |
54 63 72 80
|
syl21anc |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) e. H ) |
82 |
5 6
|
eqmat |
|- ( ( ( T ` ( X .x. Y ) ) e. H /\ ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) e. H ) -> ( ( T ` ( X .x. Y ) ) = ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) ) ) |
83 |
79 81 82
|
syl2anc |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( ( T ` ( X .x. Y ) ) = ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` ( X .x. Y ) ) j ) = ( i ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) j ) ) ) |
84 |
77 83
|
mpbird |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( X e. K /\ Y e. B ) ) -> ( T ` ( X .x. Y ) ) = ( ( S ` X ) .X. ( T ` Y ) ) ) |