Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mavmulcl.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
mavmulcl.m |
⊢ × = ( 𝑅 maVecMul 〈 𝑁 , 𝑁 〉 ) |
3 |
|
mavmulcl.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
mavmulcl.t |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
mavmulcl.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
6 |
|
mavmulcl.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ Fin ) |
7 |
|
mavmulcl.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) |
8 |
|
mavmulcl.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
mavmulval |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 × 𝑌 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
10 |
|
ringcmn |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd ) |
11 |
5 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ CMnd ) |
13 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
14 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
15 |
1 3
|
matbas2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) ) |
16 |
6 5 15
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) ) |
17 |
7 16
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ) |
18 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑋 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
20 |
19
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑋 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
21 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
23 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ 𝑁 ) |
24 |
20 22 23
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) |
25 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) → 𝑌 : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) |
26 |
8 25
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) |
27 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) |
28 |
27 23
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) |
29 |
3 4
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
30 |
14 24 28 29
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
31 |
30
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) → ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
32 |
3 12 13 31
|
gsummptcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
34 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
fmpt |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) |
36 |
3
|
fvexi |
⊢ 𝐵 ∈ V |
37 |
|
elmapg |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) ) |
38 |
36 6 37
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) : 𝑁 ⟶ 𝐵 ) ) |
39 |
35 38
|
bitr4id |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ) ) |
40 |
33 39
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) · ( 𝑌 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ) |
41 |
9 40
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 × 𝑌 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑁 ) ) |