Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lpfval.1 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
|
ssid |
⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋 |
3 |
1
|
lpss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 ) |
4 |
2 3
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 ) |
5 |
4
|
sseld |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝑋 ) ) |
6 |
5
|
pm4.71rd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
7 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
8 |
1
|
islp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑃 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ { 𝑃 } ) ) ) ) |
9 |
7 2 8
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑃 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ { 𝑃 } ) ) ) ) |
10 |
|
snssi |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝑋 → { 𝑃 } ⊆ 𝑋 ) |
11 |
1
|
clsdif |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ { 𝑃 } ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ { 𝑃 } ) ) = ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) |
12 |
10 11
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ { 𝑃 } ) ) = ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) |
13 |
12
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ { 𝑃 } ) ) ↔ 𝑃 ∈ ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) ) |
14 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ↔ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) |
15 |
14
|
baib |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝑋 → ( 𝑃 ∈ ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ↔ ¬ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) |
16 |
15
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ↔ ¬ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ) |
17 |
|
snssi |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) → { 𝑃 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) → { 𝑃 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) |
19 |
1
|
ntrss2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ { 𝑃 } ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ⊆ { 𝑃 } ) |
20 |
10 19
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ⊆ { 𝑃 } ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ⊆ { 𝑃 } ) |
22 |
18 21
|
eqssd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) → { 𝑃 } = ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) |
23 |
1
|
ntropn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ { 𝑃 } ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ∈ 𝐽 ) |
24 |
10 23
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ∈ 𝐽 ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ∈ 𝐽 ) |
26 |
22 25
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) → { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) |
27 |
|
snidg |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝑋 → 𝑃 ∈ { 𝑃 } ) |
28 |
27
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) → 𝑃 ∈ { 𝑃 } ) |
29 |
|
isopn3i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) = { 𝑃 } ) |
30 |
29
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) = { 𝑃 } ) |
31 |
28 30
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) → 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) |
32 |
26 31
|
impbida |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ↔ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) |
33 |
32
|
notbid |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ¬ 𝑃 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ↔ ¬ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) |
34 |
16 33
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) ↔ ¬ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) |
35 |
9 13 34
|
3bitrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ↔ ¬ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) |
36 |
35
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ¬ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) ) |
37 |
6 36
|
bitrd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑃 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ¬ { 𝑃 } ∈ 𝐽 ) ) ) |