Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lpfval.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
ssid |
|- X C_ X |
3 |
1
|
lpss |
|- ( ( J e. Top /\ X C_ X ) -> ( ( limPt ` J ) ` X ) C_ X ) |
4 |
2 3
|
mpan2 |
|- ( J e. Top -> ( ( limPt ` J ) ` X ) C_ X ) |
5 |
4
|
sseld |
|- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) -> P e. X ) ) |
6 |
5
|
pm4.71rd |
|- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( P e. X /\ P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) ) ) ) |
7 |
|
simpl |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> J e. Top ) |
8 |
1
|
islp |
|- ( ( J e. Top /\ X C_ X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) ) ) |
9 |
7 2 8
|
sylancl |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) ) ) |
10 |
|
snssi |
|- ( P e. X -> { P } C_ X ) |
11 |
1
|
clsdif |
|- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) |
12 |
10 11
|
sylan2 |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) |
13 |
12
|
eleq2d |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) <-> P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) ) |
14 |
|
eldif |
|- ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> ( P e. X /\ -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) |
15 |
14
|
baib |
|- ( P e. X -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) |
17 |
|
snssi |
|- ( P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) |
19 |
1
|
ntrss2 |
|- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } ) |
20 |
10 19
|
sylan2 |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } ) |
22 |
18 21
|
eqssd |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } = ( ( int ` J ) ` { P } ) ) |
23 |
1
|
ntropn |
|- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J ) |
24 |
10 23
|
sylan2 |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J ) |
26 |
22 25
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } e. J ) |
27 |
|
snidg |
|- ( P e. X -> P e. { P } ) |
28 |
27
|
ad2antlr |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> P e. { P } ) |
29 |
|
isopn3i |
|- ( ( J e. Top /\ { P } e. J ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) = { P } ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) = { P } ) |
31 |
28 30
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) |
32 |
26 31
|
impbida |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) <-> { P } e. J ) ) |
33 |
32
|
notbid |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) <-> -. { P } e. J ) ) |
34 |
16 33
|
bitrd |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. { P } e. J ) ) |
35 |
9 13 34
|
3bitrd |
|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> -. { P } e. J ) ) |
36 |
35
|
pm5.32da |
|- ( J e. Top -> ( ( P e. X /\ P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) ) <-> ( P e. X /\ -. { P } e. J ) ) ) |
37 |
6 36
|
bitrd |
|- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( P e. X /\ -. { P } e. J ) ) ) |