Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brprop.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
brprop.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊 ) |
3 |
|
brprop.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉 ) |
4 |
|
brprop.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊 ) |
5 |
|
mptprop.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶 ) |
6 |
|
df-pr |
⊢ { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) |
7 |
|
fmptsn |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↦ 𝐵 ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↦ 𝐵 ) ) |
9 |
|
incom |
⊢ ( { 𝐴 } ∩ { 𝐴 , 𝐶 } ) = ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) |
10 |
|
prid1g |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ) |
11 |
|
snssi |
⊢ ( 𝐴 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } → { 𝐴 } ⊆ { 𝐴 , 𝐶 } ) |
12 |
1 10 11
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 } ⊆ { 𝐴 , 𝐶 } ) |
13 |
|
df-ss |
⊢ ( { 𝐴 } ⊆ { 𝐴 , 𝐶 } ↔ ( { 𝐴 } ∩ { 𝐴 , 𝐶 } ) = { 𝐴 } ) |
14 |
12 13
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 } ∩ { 𝐴 , 𝐶 } ) = { 𝐴 } ) |
15 |
9 14
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) = { 𝐴 } ) |
16 |
15
|
mpteq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) ↦ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↦ 𝐵 ) ) |
17 |
8 16
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } = ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) ↦ 𝐵 ) ) |
18 |
|
fmptsn |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ) → { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( 𝑥 ∈ { 𝐶 } ↦ 𝐷 ) ) |
19 |
3 4 18
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( 𝑥 ∈ { 𝐶 } ↦ 𝐷 ) ) |
20 |
|
difprsn1 |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐶 → ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) = { 𝐶 } ) |
21 |
5 20
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) = { 𝐶 } ) |
22 |
21
|
mpteq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ↦ 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ { 𝐶 } ↦ 𝐷 ) ) |
23 |
19 22
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ↦ 𝐷 ) ) |
24 |
17 23
|
uneq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) = ( ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) ↦ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ↦ 𝐷 ) ) ) |
25 |
|
partfun |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } , 𝐵 , 𝐷 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∩ { 𝐴 } ) ↦ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∈ ( { 𝐴 , 𝐶 } ∖ { 𝐴 } ) ↦ 𝐷 ) ) |
26 |
24 25
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } , 𝐵 , 𝐷 ) ) ) |
27 |
|
elsn2g |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↔ 𝑥 = 𝐴 ) ) |
28 |
1 27
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↔ 𝑥 = 𝐴 ) ) |
29 |
28
|
ifbid |
⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } , 𝐵 , 𝐷 ) = if ( 𝑥 = 𝐴 , 𝐵 , 𝐷 ) ) |
30 |
29
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } , 𝐵 , 𝐷 ) ) = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 = 𝐴 , 𝐵 , 𝐷 ) ) ) |
31 |
26 30
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 = 𝐴 , 𝐵 , 𝐷 ) ) ) |
32 |
6 31
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐶 } ↦ if ( 𝑥 = 𝐴 , 𝐵 , 𝐷 ) ) ) |