| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
mulsasslem.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ No ) |
| 2 |
|
mulsasslem.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ No ) |
| 3 |
|
mulsasslem.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ No ) |
| 4 |
1 2
|
mulscut2 |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) <<s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ) |
| 5 |
|
lltropt |
⊢ ( L ‘ 𝐶 ) <<s ( R ‘ 𝐶 ) |
| 6 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐶 ) <<s ( R ‘ 𝐶 ) ) |
| 7 |
|
mulsval2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( 𝐴 ·s 𝐵 ) = ( ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) |s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ) ) |
| 8 |
1 2 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·s 𝐵 ) = ( ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) |s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ) ) |
| 9 |
|
lrcut |
⊢ ( 𝐶 ∈ No → ( ( L ‘ 𝐶 ) |s ( R ‘ 𝐶 ) ) = 𝐶 ) |
| 10 |
3 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( L ‘ 𝐶 ) |s ( R ‘ 𝐶 ) ) = 𝐶 ) |
| 11 |
10
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( ( L ‘ 𝐶 ) |s ( R ‘ 𝐶 ) ) ) |
| 12 |
4 6 8 11
|
mulsunif |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝐶 ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) |s ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ) ) |
| 13 |
|
unab |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) } |
| 14 |
|
rexun |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 15 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ) ) |
| 16 |
15
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ) ) |
| 17 |
16
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 18 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 19 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 20 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∈ V |
| 21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝐶 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) ) |
| 22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 23 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) |
| 24 |
22 23
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 25 |
24
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 26 |
25
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 27 |
20 26
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 28 |
27
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 29 |
19 28
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 30 |
29
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 31 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 32 |
31
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 33 |
18 30 32
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 34 |
17 33
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 35 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ) ) |
| 36 |
35
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ) ) |
| 37 |
36
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 38 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 39 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 40 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∈ V |
| 41 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝐶 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) ) |
| 42 |
41
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 43 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) |
| 44 |
42 43
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 45 |
44
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 46 |
45
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 47 |
40 46
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 48 |
47
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 49 |
39 48
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 50 |
49
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 51 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 52 |
51
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 53 |
38 50 52
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 54 |
37 53
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 55 |
34 54
|
orbi12i |
⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 56 |
14 55
|
bitr2i |
⊢ ( ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 57 |
56
|
abbii |
⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } |
| 58 |
13 57
|
eqtri |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } |
| 59 |
|
unab |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) } |
| 60 |
|
rexun |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 61 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ) ) |
| 62 |
61
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ) ) |
| 63 |
62
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 64 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 65 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 66 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∈ V |
| 67 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝐶 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) ) |
| 68 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 69 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) |
| 70 |
68 69
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 71 |
70
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 72 |
71
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 73 |
66 72
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 74 |
73
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 75 |
65 74
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 76 |
75
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 77 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 78 |
77
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 79 |
64 76 78
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 80 |
63 79
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 81 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ) ) |
| 82 |
81
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ) ) |
| 83 |
82
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 84 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 85 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 86 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∈ V |
| 87 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝐶 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) ) |
| 88 |
87
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 89 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) |
| 90 |
88 89
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 91 |
90
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 92 |
91
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 93 |
86 92
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 94 |
93
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 95 |
85 94
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 96 |
95
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 97 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 98 |
97
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 99 |
84 96 98
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 100 |
83 99
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 101 |
80 100
|
orbi12i |
⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 102 |
60 101
|
bitr2i |
⊢ ( ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 103 |
102
|
abbii |
⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } |
| 104 |
59 103
|
eqtri |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } |
| 105 |
58 104
|
uneq12i |
⊢ ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ) = ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) |
| 106 |
|
unab |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) } |
| 107 |
|
rexun |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 108 |
16
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 109 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 110 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 111 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 112 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) |
| 113 |
111 112
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 114 |
113
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 115 |
114
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 116 |
20 115
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 117 |
116
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 118 |
110 117
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 119 |
118
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 120 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 121 |
120
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 122 |
109 119 121
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 123 |
108 122
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 124 |
36
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 125 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 126 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 127 |
41
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 128 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) |
| 129 |
127 128
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 130 |
129
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 131 |
130
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 132 |
40 131
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 133 |
132
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 134 |
126 133
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 135 |
134
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 136 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 137 |
136
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 138 |
125 135 137
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 139 |
124 138
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 140 |
123 139
|
orbi12i |
⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ) |
| 141 |
107 140
|
bitr2i |
⊢ ( ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) ) |
| 142 |
141
|
abbii |
⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } |
| 143 |
106 142
|
eqtri |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } |
| 144 |
|
unab |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) } |
| 145 |
|
rexun |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 146 |
62
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 147 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 148 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 149 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 150 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) = ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) |
| 151 |
149 150
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 152 |
151
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 153 |
152
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) → ( ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 154 |
66 153
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 155 |
154
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 156 |
148 155
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 157 |
156
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 158 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 159 |
158
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 160 |
147 157 159
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 161 |
146 160
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 162 |
82
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 163 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 164 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 165 |
87
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 166 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) = ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) |
| 167 |
165 166
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 168 |
167
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 169 |
168
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 170 |
86 169
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 171 |
170
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 172 |
164 171
|
bitr3i |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 173 |
172
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 174 |
|
r19.41vv |
⊢ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 175 |
174
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 176 |
163 173 175
|
3bitr3ri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 177 |
162 176
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 178 |
161 177
|
orbi12i |
⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ) |
| 179 |
145 178
|
bitr2i |
⊢ ( ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) ) |
| 180 |
179
|
abbii |
⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ∨ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } |
| 181 |
144 180
|
eqtri |
⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } |
| 182 |
143 181
|
uneq12i |
⊢ ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ) = ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) |
| 183 |
105 182
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ) |s ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ) ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) |s ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) } ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑡 ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( 𝑡 ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ) |
| 184 |
12 183
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝐶 ) = ( ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ) |s ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝑅 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝑅 ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝐿 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝑅 ) ) -s ( 𝑥𝐿 ·s 𝑦𝑅 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝐶 ) +s ( ( 𝐴 ·s 𝐵 ) ·s 𝑧𝐿 ) ) -s ( ( ( ( 𝑥𝑅 ·s 𝐵 ) +s ( 𝐴 ·s 𝑦𝐿 ) ) -s ( 𝑥𝑅 ·s 𝑦𝐿 ) ) ·s 𝑧𝐿 ) ) } ) ) ) ) |