Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pexmidALT.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
pexmidALT.p |
⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
pexmidALT.o |
⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
nonconne |
⊢ ¬ ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) |
5 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 ) |
7 |
1 3
|
polssatN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 ) |
9 |
1 2
|
paddssat |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ) |
10 |
5 6 8 9
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ) |
11 |
|
df-pss |
⊢ ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊊ 𝐴 ↔ ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ≠ 𝐴 ) ) |
12 |
|
pssnel |
⊢ ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊊ 𝐴 → ∃ 𝑝 ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
13 |
11 12
|
sylbir |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ≠ 𝐴 ) → ∃ 𝑝 ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
14 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ↔ ∃ 𝑝 ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ≠ 𝐴 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) |
16 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
17 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 ) |
18 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
19 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ) |
20 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ≠ ∅ ) |
21 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
23 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = ( 𝑋 + { 𝑝 } ) |
25 |
22 23 1 2 3 24
|
pexmidlem6N |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = 𝑋 ) |
26 |
22 23 1 2 3 24
|
pexmidlem7N |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ≠ 𝑋 ) |
27 |
25 26
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = 𝑋 ∧ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ≠ 𝑋 ) ) |
28 |
16 17 18 19 20 21 27
|
syl33anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = 𝑋 ∧ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ≠ 𝑋 ) ) |
29 |
|
nonconne |
⊢ ¬ ( ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = 𝑋 ∧ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ≠ 𝑋 ) |
30 |
29 4
|
2false |
⊢ ( ( ( 𝑋 + { 𝑝 } ) = 𝑋 ∧ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ≠ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) ) |
31 |
28 30
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) ) |
32 |
31
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) ) ) |
33 |
15 32
|
syl5 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ≠ 𝐴 ) → ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) ) ) |
34 |
10 33
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ≠ 𝐴 → ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) ) ) |
35 |
34
|
necon1bd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ¬ ( 𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋 ) → ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝐴 ) ) |
36 |
4 35
|
mpi |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝐴 ) |