Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pntlem1.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) ) |
2 |
|
pntlem1.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+ ) |
3 |
|
pntlem1.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
4 |
|
pntlem1.l |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) |
5 |
|
pntlem1.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝐴 + 1 ) |
6 |
|
pntlem1.f |
⊢ 𝐹 = ( ( 1 − ( 1 / 𝐷 ) ) · ( ( 𝐿 / ( ; 3 2 · 𝐵 ) ) / ( 𝐷 ↑ 2 ) ) ) |
7 |
|
pntlem1.u |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+ ) |
8 |
|
pntlem1.u2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴 ) |
9 |
|
pntlem1.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑈 / 𝐷 ) |
10 |
|
pntlem1.k |
⊢ 𝐾 = ( exp ‘ ( 𝐵 / 𝐸 ) ) |
11 |
|
pntlem1.y |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) ) |
12 |
|
pntlem1.x |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋 ) ) |
13 |
|
pntlem1.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+ ) |
14 |
|
pntlem1.w |
⊢ 𝑊 = ( ( ( 𝑌 + ( 4 / ( 𝐿 · 𝐸 ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( ( 𝑋 · ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ↑ 4 ) + ( exp ‘ ( ( ( ; 3 2 · 𝐵 ) / ( ( 𝑈 − 𝐸 ) · ( 𝐿 · ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 𝑈 · 3 ) + 𝐶 ) ) ) ) ) |
15 |
|
pntleme.U |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑌 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑈 ) |
16 |
|
pntleme.K |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) |
17 |
|
pntleme.C |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑧 ) ) · Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑧 / 𝑌 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑧 / 𝑖 ) ) ) · ( log ‘ 𝑖 ) ) ) ) / 𝑧 ) ≤ 𝐶 ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
pntlema |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+ ) |
19 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ+ ) |
20 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
21 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) |
22 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑈 ∈ ℝ+ ) |
23 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑈 ≤ 𝐴 ) |
24 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( 𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) ) |
25 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋 ) ) |
26 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐶 ∈ ℝ+ ) |
27 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) |
28 |
|
eqid |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑋 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑋 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) ) + 1 ) |
29 |
|
eqid |
⊢ ( ⌊ ‘ ( ( ( log ‘ 𝑣 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) / 2 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( log ‘ 𝑣 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) / 2 ) ) |
30 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑌 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑈 ) |
31 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑘 · 𝑦 ) = ( 𝐾 · 𝑦 ) ) |
32 |
31
|
breq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ) |
33 |
32
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ) ) |
34 |
33
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) ) |
35 |
34
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) ) |
36 |
35
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) ) |
37 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
pntlemc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝐸 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 1 < 𝐾 ∧ ( 𝑈 − 𝐸 ) ∈ ℝ+ ) ) ) |
38 |
37
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+ ) |
39 |
38
|
rpxrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ* ) |
40 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
41 |
40
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* ) |
42 |
38
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
ltpnfd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 < +∞ ) |
44 |
|
lbico1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐾 < +∞ ) → 𝐾 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) ) |
45 |
39 41 43 44
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) ) |
46 |
36 16 45
|
rspcdva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) |
48 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑧 ) ) · Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑧 / 𝑌 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑧 / 𝑖 ) ) ) · ( log ‘ 𝑖 ) ) ) ) / 𝑧 ) ≤ 𝐶 ) |
49 |
1 19 20 21 5 6 22 23 9 10 24 25 26 14 27 28 29 30 47 48
|
pntlemo |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) |
50 |
49
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) |
51 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑤 [,) +∞ ) = ( 𝑊 [,) +∞ ) ) |
52 |
51
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) |
54 |
18 50 53
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) |