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Theorem pntleme

Description: Lemma for pnt . Package up pntlemo in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses pntlem1.r 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) )
pntlem1.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ+ )
pntlem1.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ+ )
pntlem1.l ( 𝜑𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d 𝐷 = ( 𝐴 + 1 )
pntlem1.f 𝐹 = ( ( 1 − ( 1 / 𝐷 ) ) · ( ( 𝐿 / ( 3 2 · 𝐵 ) ) / ( 𝐷 ↑ 2 ) ) )
pntlem1.u ( 𝜑𝑈 ∈ ℝ+ )
pntlem1.u2 ( 𝜑𝑈𝐴 )
pntlem1.e 𝐸 = ( 𝑈 / 𝐷 )
pntlem1.k 𝐾 = ( exp ‘ ( 𝐵 / 𝐸 ) )
pntlem1.y ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) )
pntlem1.x ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋 ) )
pntlem1.c ( 𝜑𝐶 ∈ ℝ+ )
pntlem1.w 𝑊 = ( ( ( 𝑌 + ( 4 / ( 𝐿 · 𝐸 ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( ( 𝑋 · ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ↑ 4 ) + ( exp ‘ ( ( ( 3 2 · 𝐵 ) / ( ( 𝑈𝐸 ) · ( 𝐿 · ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 𝑈 · 3 ) + 𝐶 ) ) ) ) )
pntleme.U ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑌 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑈 )
pntleme.K ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) )
pntleme.C ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅𝑧 ) ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑧 ) ) · Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑧 / 𝑌 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑧 / 𝑖 ) ) ) · ( log ‘ 𝑖 ) ) ) ) / 𝑧 ) ≤ 𝐶 )
Assertion pntleme ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pntlem1.r 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) )
2 pntlem1.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ+ )
3 pntlem1.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ+ )
4 pntlem1.l ( 𝜑𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d 𝐷 = ( 𝐴 + 1 )
6 pntlem1.f 𝐹 = ( ( 1 − ( 1 / 𝐷 ) ) · ( ( 𝐿 / ( 3 2 · 𝐵 ) ) / ( 𝐷 ↑ 2 ) ) )
7 pntlem1.u ( 𝜑𝑈 ∈ ℝ+ )
8 pntlem1.u2 ( 𝜑𝑈𝐴 )
9 pntlem1.e 𝐸 = ( 𝑈 / 𝐷 )
10 pntlem1.k 𝐾 = ( exp ‘ ( 𝐵 / 𝐸 ) )
11 pntlem1.y ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) )
12 pntlem1.x ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋 ) )
13 pntlem1.c ( 𝜑𝐶 ∈ ℝ+ )
14 pntlem1.w 𝑊 = ( ( ( 𝑌 + ( 4 / ( 𝐿 · 𝐸 ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( ( 𝑋 · ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ↑ 4 ) + ( exp ‘ ( ( ( 3 2 · 𝐵 ) / ( ( 𝑈𝐸 ) · ( 𝐿 · ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 𝑈 · 3 ) + 𝐶 ) ) ) ) )
15 pntleme.U ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑌 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑈 )
16 pntleme.K ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) )
17 pntleme.C ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅𝑧 ) ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑧 ) ) · Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑧 / 𝑌 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑧 / 𝑖 ) ) ) · ( log ‘ 𝑖 ) ) ) ) / 𝑧 ) ≤ 𝐶 )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 pntlema ( 𝜑𝑊 ∈ ℝ+ )
19 2 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ+ )
20 3 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ+ )
21 4 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) )
22 7 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑈 ∈ ℝ+ )
23 8 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑈𝐴 )
24 11 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( 𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) )
25 12 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋 ) )
26 13 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝐶 ∈ ℝ+ )
27 simpr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) )
28 eqid ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑋 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑋 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) ) + 1 )
29 eqid ( ⌊ ‘ ( ( ( log ‘ 𝑣 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) / 2 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( log ‘ 𝑣 ) / ( log ‘ 𝐾 ) ) / 2 ) )
30 15 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑌 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑈 )
31 oveq1 ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑘 · 𝑦 ) = ( 𝐾 · 𝑦 ) )
32 31 breq2d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) )
33 32 anbi2d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ) )
34 33 anbi1d ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) )
35 34 rexbidv ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) )
36 35 ralbidv ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) ) )
37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pntlemc ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝐸 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 1 < 𝐾 ∧ ( 𝑈𝐸 ) ∈ ℝ+ ) ) )
38 37 simp2d ( 𝜑𝐾 ∈ ℝ+ )
39 38 rpxrd ( 𝜑𝐾 ∈ ℝ* )
40 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
41 40 a1i ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
42 38 rpred ( 𝜑𝐾 ∈ ℝ )
43 42 ltpnfd ( 𝜑𝐾 < +∞ )
44 lbico1 ( ( 𝐾 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐾 < +∞ ) → 𝐾 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) )
45 39 41 43 44 syl3anc ( 𝜑𝐾 ∈ ( 𝐾 [,) +∞ ) )
46 36 16 45 rspcdva ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) )
47 46 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝐾 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝐸 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝐸 ) )
48 17 adantr ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅𝑧 ) ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑧 ) ) · Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑧 / 𝑌 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑧 / 𝑖 ) ) ) · ( log ‘ 𝑖 ) ) ) ) / 𝑧 ) ≤ 𝐶 )
49 1 19 20 21 5 6 22 23 9 10 24 25 26 14 27 28 29 30 47 48 pntlemo ( ( 𝜑𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) )
50 49 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) )
51 oveq1 ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑤 [,) +∞ ) = ( 𝑊 [,) +∞ ) )
52 51 raleqdv ( 𝑤 = 𝑊 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) )
53 52 rspcev ( ( 𝑊 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑊 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) )
54 18 50 53 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑈 − ( 𝐹 · ( 𝑈 ↑ 3 ) ) ) )