Theorem rmxyelqirr

Description: The solutions used to construct the X and Y sequences are quadratic irrationals. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014) (Proof shortened by SN, 23-Dec-2024)

	Ref	Expression
Assertion	rmxyelqirr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) )
2	1	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) )
3		pell14qrval	⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) → ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) = { 𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) } )
4	2 3	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) = { 𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) } )
5		rabssab	⊢ { 𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) } ⊆ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) }
6		simpl	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) → 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) )
7	6	reximi	⊢ ( ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) → ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) )
8	7	reximi	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) )
9	8	ss2abi	⊢ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) } ⊆ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) }
10	5 9	sstri	⊢ { 𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ ( 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑑 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) } ⊆ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) }
11	4 10	eqsstrdi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ⊆ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) } )
12		simpr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ )
13		rmspecfund	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) = ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) )
14	13	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) = ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) )
15	14	eqcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) = ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) )
16	15	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑁 ) )
17		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑁 → ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑎 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑁 ) )
18	17	rspceeqv	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℤ ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑎 ) )
19	12 16 18	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ∃ 𝑎 ∈ ℤ ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑎 ) )
20		pellfund14b	⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) → ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ℤ ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑎 ) ) )
21	2 20	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ℤ ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( PellFund ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 𝑎 ) ) )
22	19 21	mpbird	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ ( Pell14QR ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) )
23	11 22	sseldd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑐 ∈ ℕ0 ∃ 𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = ( 𝑐 + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · 𝑑 ) ) } )