Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
s3rn.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷 ) |
2 |
|
s3rn.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷 ) |
3 |
|
s3rn.k |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷 ) |
4 |
|
imadmrn |
⊢ ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 “ dom 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) = ran 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 |
5 |
1 2 3
|
s3cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ∈ Word 𝐷 ) |
6 |
|
wrdfn |
⊢ ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ∈ Word 𝐷 → 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) ) ) |
7 |
|
s3len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) = 3 |
8 |
7
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) ) = ( 0 ..^ 3 ) |
9 |
|
fzo0to3tp |
⊢ ( 0 ..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 } |
10 |
8 9
|
eqtri |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) ) = { 0 , 1 , 2 } |
11 |
10
|
fneq2i |
⊢ ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) ) ↔ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn { 0 , 1 , 2 } ) |
12 |
11
|
biimpi |
⊢ ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) ) → 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn { 0 , 1 , 2 } ) |
13 |
5 6 12
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 Fn { 0 , 1 , 2 } ) |
14 |
13
|
fndmd |
⊢ ( 𝜑 → dom 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 = { 0 , 1 , 2 } ) |
15 |
14
|
imaeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 “ dom 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) = ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 “ { 0 , 1 , 2 } ) ) |
16 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
17 |
16
|
tpid1 |
⊢ 0 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
18 |
17
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ { 0 , 1 , 2 } ) |
19 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
20 |
19
|
tpid2 |
⊢ 1 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ { 0 , 1 , 2 } ) |
22 |
|
2ex |
⊢ 2 ∈ V |
23 |
22
|
tpid3 |
⊢ 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
24 |
23
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } ) |
25 |
13 18 21 24
|
fnimatp |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 “ { 0 , 1 , 2 } ) = { ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 0 ) , ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 1 ) , ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 2 ) } ) |
26 |
|
s3fv0 |
⊢ ( 𝐼 ∈ 𝐷 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐼 ) |
27 |
1 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐼 ) |
28 |
|
s3fv1 |
⊢ ( 𝐽 ∈ 𝐷 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐽 ) |
29 |
2 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐽 ) |
30 |
|
s3fv2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐷 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐾 ) |
31 |
3 30
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐾 ) |
32 |
27 29 31
|
tpeq123d |
⊢ ( 𝜑 → { ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 0 ) , ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 1 ) , ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ‘ 2 ) } = { 𝐼 , 𝐽 , 𝐾 } ) |
33 |
15 25 32
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 “ dom 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 ) = { 𝐼 , 𝐽 , 𝐾 } ) |
34 |
4 33
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ran 〈“ 𝐼 𝐽 𝐾 ”〉 = { 𝐼 , 𝐽 , 𝐾 } ) |