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Theorem slmdvs0

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of Kreyszig p. 51. ( hvmul0 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

Ref Expression
Hypotheses slmdvs0.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
slmdvs0.s · = ( ·𝑠𝑊 )
slmdvs0.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
slmdvs0.z 0 = ( 0g𝑊 )
Assertion slmdvs0 ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 slmdvs0.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
2 slmdvs0.s · = ( ·𝑠𝑊 )
3 slmdvs0.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
4 slmdvs0.z 0 = ( 0g𝑊 )
5 1 slmdsrg ( 𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing )
6 eqid ( .r𝐹 ) = ( .r𝐹 )
7 eqid ( 0g𝐹 ) = ( 0g𝐹 )
8 3 6 7 srgrz ( ( 𝐹 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) = ( 0g𝐹 ) )
9 5 8 sylan ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) = ( 0g𝐹 ) )
10 9 oveq1d ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) · 0 ) = ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) )
11 simpl ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → 𝑊 ∈ SLMod )
12 simpr ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → 𝑋𝐾 )
13 5 adantr ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → 𝐹 ∈ SRing )
14 3 7 srg0cl ( 𝐹 ∈ SRing → ( 0g𝐹 ) ∈ 𝐾 )
15 13 14 syl ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 0g𝐹 ) ∈ 𝐾 )
16 eqid ( Base ‘ 𝑊 ) = ( Base ‘ 𝑊 )
17 16 4 slmd0vcl ( 𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
18 17 adantr ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → 0 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
19 16 1 2 3 6 slmdvsass ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑋𝐾 ∧ ( 0g𝐹 ) ∈ 𝐾0 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) · 0 ) = ( 𝑋 · ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) ) )
20 11 12 15 18 19 syl13anc ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) · 0 ) = ( 𝑋 · ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) ) )
21 16 1 2 7 4 slmd0vs ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 0 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) = 0 )
22 18 21 syldan ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) = 0 )
23 22 oveq2d ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 𝑋 · ( ( 0g𝐹 ) · 0 ) ) = ( 𝑋 · 0 ) )
24 20 23 eqtrd ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( ( 𝑋 ( .r𝐹 ) ( 0g𝐹 ) ) · 0 ) = ( 𝑋 · 0 ) )
25 10 24 22 3eqtr3d ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝐾 ) → ( 𝑋 · 0 ) = 0 )