Theorem sn-itrere

Description: _i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024)

	Ref	Expression
Assertion	sn-itrere	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℂ )
4		simpll	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ )
5	4	recnd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ )
6		simplr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ≠ 0 )
7	4 6	sn-rereccld	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( 1 /ℝ 𝑅 ) ∈ ℝ )
8	7	recnd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( 1 /ℝ 𝑅 ) ∈ ℂ )
9	3 5 8	mulassd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) = ( i · ( 𝑅 · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) ) )
10	4 6	rerecid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑅 · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) = 1 )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · ( 𝑅 · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) ) = ( i · 1 ) )
12		sn-it1ei	⊢ ( i · 1 ) = i
13	12	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 1 ) = i )
14	9 11 13	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) = i )
15		simpr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
16	15 7	remulcld	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) · ( 1 /ℝ 𝑅 ) ) ∈ ℝ )
17	14 16	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℝ )
18	17	ex	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → i ∈ ℝ ) )
19	1 18	mtoi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
20	19	ex	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( 𝑅 ≠ 0 → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
21	20	necon4ad	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → 𝑅 = 0 ) )
22		oveq2	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) = ( i · 0 ) )
23		sn-it0e0	⊢ ( i · 0 ) = 0
24		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
25	23 24	eqeltri	⊢ ( i · 0 ) ∈ ℝ
26	22 25	eqeltrdi	⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ )
27	21 26	impbid1	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) )