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Theorem tendodi2

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
Assertion tendodi2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
5 simpl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
6 simpr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐸 )
7 simpr2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
8 1 2 3 4 tendoplcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
9 5 6 7 8 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
10 simpr3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
11 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
12 5 9 10 11 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
13 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
14 5 6 10 13 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
15 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
16 5 7 10 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
17 1 2 3 4 tendoplcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
18 5 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
19 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
20 simplr1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑆 ∈ 𝐸 )
21 simplr2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
22 19 20 21 8 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
23 simplr3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
24 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 )
25 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
26 19 22 23 24 25 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
27 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝐾 ∈ HL )
28 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
29 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
30 27 28 20 23 24 29 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
31 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑈 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
32 27 28 21 23 24 31 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑈 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
33 30 32 coeq12d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑈 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
34 19 20 23 13 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
35 19 21 23 15 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
36 4 2 tendopl2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
37 34 35 24 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
38 1 2 3 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
39 19 23 24 38 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
40 4 2 tendopl2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑈 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
41 20 21 39 40 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑈 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
42 33 37 41 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) )
43 26 42 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) )
44 43 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) )
45 1 2 3 tendoeq1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) )
46 5 12 18 44 45 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∘ 𝑉 ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) 𝑃 ( 𝑈 ∘ 𝑉 ) ) )