Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zlmodzxzldep.z |
⊢ 𝑍 = ( ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) |
2 |
|
zlmodzxzldep.a |
⊢ 𝐴 = { 〈 0 , 3 〉 , 〈 1 , 6 〉 } |
3 |
|
zlmodzxzldep.b |
⊢ 𝐵 = { 〈 0 , 2 〉 , 〈 1 , 4 〉 } |
4 |
|
zlmodzxzldeplem.f |
⊢ 𝐹 = { 〈 𝐴 , 2 〉 , 〈 𝐵 , - 3 〉 } |
5 |
|
prex |
⊢ { 〈 0 , 3 〉 , 〈 1 , 6 〉 } ∈ V |
6 |
2 5
|
eqeltri |
⊢ 𝐴 ∈ V |
7 |
|
prex |
⊢ { 〈 0 , 2 〉 , 〈 1 , 4 〉 } ∈ V |
8 |
3 7
|
eqeltri |
⊢ 𝐵 ∈ V |
9 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
10 |
4
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 𝐴 , 2 〉 , 〈 𝐵 , - 3 〉 } ‘ 𝐴 ) |
11 |
1 2 3
|
zlmodzxzldeplem |
⊢ 𝐴 ≠ 𝐵 |
12 |
|
2ex |
⊢ 2 ∈ V |
13 |
6 12
|
fvpr1 |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 〈 𝐴 , 2 〉 , 〈 𝐵 , - 3 〉 } ‘ 𝐴 ) = 2 ) |
14 |
11 13
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( { 〈 𝐴 , 2 〉 , 〈 𝐵 , - 3 〉 } ‘ 𝐴 ) = 2 ) |
15 |
10 14
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = 2 ) |
16 |
15
|
neeq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0 ) ) |
17 |
9 16
|
mpbiri |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
18 |
17
|
orcd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ≠ 0 ) ) |
19 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
20 |
19
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) ) |
21 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) |
22 |
21
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ≠ 0 ) ) |
23 |
20 22
|
rexprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( ∃ 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ≠ 0 ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ∨ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ≠ 0 ) ) ) |
24 |
18 23
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ∃ 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ≠ 0 ) |
25 |
6 8 24
|
mp2an |
⊢ ∃ 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ≠ 0 |