Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iiner Unicode version

Theorem iiner 7402
 Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iiner
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iiner
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.2z 3918 . . . 4
2 errel 7339 . . . . . 6
3 df-rel 5011 . . . . . 6
42, 3sylib 196 . . . . 5
54reximi 2925 . . . 4
6 iinss 4381 . . . 4
71, 5, 63syl 20 . . 3
8 df-rel 5011 . . 3
97, 8sylibr 212 . 2
10 id 22 . . . . . . . . 9
1110ersymb 7344 . . . . . . . 8
1211biimpd 207 . . . . . . 7
13 df-br 4453 . . . . . . 7
14 df-br 4453 . . . . . . 7
1512, 13, 143imtr3g 269 . . . . . 6
1615ral2imi 2845 . . . . 5
1716adantl 466 . . . 4
18 df-br 4453 . . . . 5
19 opex 4716 . . . . . 6
20 eliin 4336 . . . . . 6
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5
2218, 21bitri 249 . . . 4
23 df-br 4453 . . . . 5
24 opex 4716 . . . . . 6
25 eliin 4336 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5
2723, 26bitri 249 . . . 4
2817, 22, 273imtr4g 270 . . 3
2928imp 429 . 2
30 r19.26 2984 . . . . 5
3110ertr 7345 . . . . . . . 8
32 df-br 4453 . . . . . . . . 9
3313, 32anbi12i 697 . . . . . . . 8
34 df-br 4453 . . . . . . . 8
3531, 33, 343imtr3g 269 . . . . . . 7
3635ral2imi 2845 . . . . . 6
3736adantl 466 . . . . 5
3830, 37syl5bir 218 . . . 4
39 df-br 4453 . . . . . 6
40 opex 4716 . . . . . . 7
41 eliin 4336 . . . . . . 7
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6
4339, 42bitri 249 . . . . 5
4422, 43anbi12i 697 . . . 4
45 df-br 4453 . . . . 5
46 opex 4716 . . . . . 6
47 eliin 4336 . . . . . 6
4846, 47ax-mp 5 . . . . 5
4945, 48bitri 249 . . . 4
5038, 44, 493imtr4g 270 . . 3
5150imp 429 . 2
52 simpl 457 . . . . . . . . . 10
53 simpr 461 . . . . . . . . . 10
5452, 53erref 7350 . . . . . . . . 9
55 df-br 4453 . . . . . . . . 9
5654, 55sylib 196 . . . . . . . 8
5756expcom 435 . . . . . . 7
5857ralimdv 2867 . . . . . 6
5958com12 31 . . . . 5
6059adantl 466 . . . 4
61 r19.26 2984 . . . . . 6
62 r19.2z 3918 . . . . . . . 8
63 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
6463, 63opeldm 5211 . . . . . . . . . 10
65 erdm 7340 . . . . . . . . . . . 12
6665eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
6766biimpa 484 . . . . . . . . . 10
6864, 67sylan2 474 . . . . . . . . 9
6968rexlimivw 2946 . . . . . . . 8
7062, 69syl 16 . . . . . . 7
7170ex 434 . . . . . 6
7261, 71syl5bir 218 . . . . 5
7372expdimp 437 . . . 4
7460, 73impbid 191 . . 3
75 df-br 4453 . . . 4
76 opex 4716 . . . . 5
77 eliin 4336 . . . . 5
7876, 77ax-mp 5 . . . 4
7975, 78bitri 249 . . 3
8074, 79syl6bbr 263 . 2
819, 29, 51, 80iserd 7356 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035  |^|_ciin 4331   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  Relwrel 5009  Erwer 7327 This theorem is referenced by:  riiner  7403  efger  16736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-er 7330
 Copyright terms: Public domain W3C validator