Theorem iiner 7402

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iiner

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iiner

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.2z 3918	. . . 4
2		errel 7339	. . . . . 6
3		df-rel 5011	. . . . . 6
4	2, 3	sylib 196	. . . . 5
5	4	reximi 2925	. . . 4
6		iinss 4381	. . . 4
7	1, 5, 6	3syl 20	. . 3
8		df-rel 5011	. . 3
9	7, 8	sylibr 212	. 2
10		id 22	. . . . . . . . 9
11	10	ersymb 7344	. . . . . . . 8
12	11	biimpd 207	. . . . . . 7
13		df-br 4453	. . . . . . 7
14		df-br 4453	. . . . . . 7
15	12, 13, 14	3imtr3g 269	. . . . . 6
16	15	ral2imi 2845	. . . . 5
17	16	adantl 466	. . . 4
18		df-br 4453	. . . . 5
19		opex 4716	. . . . . 6
20		eliin 4336	. . . . . 6
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5
22	18, 21	bitri 249	. . . 4
23		df-br 4453	. . . . 5
24		opex 4716	. . . . . 6
25		eliin 4336	. . . . . 6
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5
27	23, 26	bitri 249	. . . 4
28	17, 22, 27	3imtr4g 270	. . 3
29	28	imp 429	. 2
30		r19.26 2984	. . . . 5
31	10	ertr 7345	. . . . . . . 8
32		df-br 4453	. . . . . . . . 9
33	13, 32	anbi12i 697	. . . . . . . 8
34		df-br 4453	. . . . . . . 8
35	31, 33, 34	3imtr3g 269	. . . . . . 7
36	35	ral2imi 2845	. . . . . 6
37	36	adantl 466	. . . . 5
38	30, 37	syl5bir 218	. . . 4
39		df-br 4453	. . . . . 6
40		opex 4716	. . . . . . 7
41		eliin 4336	. . . . . . 7
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6
43	39, 42	bitri 249	. . . . 5
44	22, 43	anbi12i 697	. . . 4
45		df-br 4453	. . . . 5
46		opex 4716	. . . . . 6
47		eliin 4336	. . . . . 6
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5
49	45, 48	bitri 249	. . . 4
50	38, 44, 49	3imtr4g 270	. . 3
51	50	imp 429	. 2
52		simpl 457	. . . . . . . . . 10
53		simpr 461	. . . . . . . . . 10
54	52, 53	erref 7350	. . . . . . . . 9
55		df-br 4453	. . . . . . . . 9
56	54, 55	sylib 196	. . . . . . . 8
57	56	expcom 435	. . . . . . 7
58	57	ralimdv 2867	. . . . . 6
59	58	com12 31	. . . . 5
60	59	adantl 466	. . . 4
61		r19.26 2984	. . . . . 6
62		r19.2z 3918	. . . . . . . 8
63		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
64	63, 63	opeldm 5211	. . . . . . . . . 10
65		erdm 7340	. . . . . . . . . . . 12
66	65	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11
67	66	biimpa 484	. . . . . . . . . 10
68	64, 67	sylan2 474	. . . . . . . . 9
69	68	rexlimivw 2946	. . . . . . . 8
70	62, 69	syl 16	. . . . . . 7
71	70	ex 434	. . . . . 6
72	61, 71	syl5bir 218	. . . . 5
73	72	expdimp 437	. . . 4
74	60, 73	impbid 191	. . 3
75		df-br 4453	. . . 4
76		opex 4716	. . . . 5
77		eliin 4336	. . . . 5
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4
79	75, 78	bitri 249	. . 3
80	74, 79	syl6bbr 263	. 2
81	9, 29, 51, 80	iserd 7356	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  <.cop 4035  |^|_ciin 4331   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  Relwrel 5009  Erwer 7327

This theorem is referenced by:  riiner  7403  efger  16736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-er 7330