Theorem indcardi 8443

Description: Indirect strong induction on the cardinality of a finite or numerable set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
indcardi.a
indcardi.b
indcardi.c
indcardi.d
indcardi.e
indcardi.f
indcardi.g

Assertion

Ref	Expression
indcardi

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,S   ,   ,,   ,   ,   ,

Proof of Theorem indcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indcardi.b	. . 3
2		domrefg 7570	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		indcardi.a	. . 3
5		cardon 8346	. . . 4
6	5	a1i 11	. . 3
7		simpl1 999	. . . . 5
8		simpr 461	. . . . 5
9		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
10		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		sdomdom 7563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16	13, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		numdom 8440	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	11, 16, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
19		numdom 8440	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	11, 14, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
21		cardsdom2 8390	. . . . . . . . . . . . . 14
22	18, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
23	9, 22	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12
24		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12
26	23, 16, 25	sylc 60	. . . . . . . . . . 11
27	26	ex 434	. . . . . . . . . 10
28	27	com23 78	. . . . . . . . 9
29	28	alimdv 1709	. . . . . . . 8
30	29	3exp 1195	. . . . . . 7
31	30	com34 83	. . . . . 6
32	31	3imp1 1209	. . . . 5
33		indcardi.c	. . . . 5
34	7, 8, 32, 33	syl3anc 1228	. . . 4
35	34	ex 434	. . 3
36		indcardi.f	. . . . 5
37	36	breq1d 4462	. . . 4
38		indcardi.d	. . . 4
39	37, 38	imbi12d 320	. . 3
40		indcardi.g	. . . . 5
41	40	breq1d 4462	. . . 4
42		indcardi.e	. . . 4
43	41, 42	imbi12d 320	. . 3
44	36	fveq2d 5875	. . 3
45	40	fveq2d 5875	. . 3
46	4, 6, 35, 39, 43, 44, 45	tfisi 6693	. 2
47	3, 46	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  cdom 7534  csdm 7535  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  uzindi  12091  symggen  16495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341