Theorem isf34lem4 8778

Description: Lemma for isfin3-4 8783. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a

Assertion

Ref	Expression
isf34lem4

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem isf34lem4

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspwuni 4416	. . . . 5
2		compss.a	. . . . . 6
3	2	isf34lem1 8773	. . . . 5
4	1, 3	sylan2b 475	. . . 4
5	4	adantrr 716	. . 3
6		simplrr 762	. . . . . . . . . 10
7		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
9		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
10	8, 9	eldifd 3486	. . . . . . . . . . . 12
11		simplrr 762	. . . . . . . . . . . 12
12		elunii 4254	. . . . . . . . . . . 12
13	10, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
14	13	ex 434	. . . . . . . . . 10
15	6, 14	mt3d 125	. . . . . . . . 9
16	15	expr 615	. . . . . . . 8
17	16	ralrimiva 2871	. . . . . . 7
18	17	ex 434	. . . . . 6
19		n0 3794	. . . . . . . . 9
20		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	20	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	elpwid 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		dfss4 3731	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
26	24, 25	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . 13
27		difss 3630	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28		elpw2g 4615	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	27, 28	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
31		difeq2 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	32, 33	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
36	30, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
37	26, 36	mpid 41	. . . . . . . . . . . 12
38		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . 12
39	37, 38	syl6 33	. . . . . . . . . . 11
40	39	ex 434	. . . . . . . . . 10
41	40	exlimdv 1724	. . . . . . . . 9
42	19, 41	syl5bi 217	. . . . . . . 8
43	42	impr 619	. . . . . . 7
44		eluni 4252	. . . . . . . . 9
45	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
46	26	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		elndif 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
51		annim 425	. . . . . . . . . . . . . 14
52	50, 51	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
53	34	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . 14
54	53	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . 13
55	45, 52, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
56		rexnal 2905	. . . . . . . . . . . 12
57	55, 56	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
58	57	ex 434	. . . . . . . . . 10
59	58	exlimdv 1724	. . . . . . . . 9
60	44, 59	syl5bi 217	. . . . . . . 8
61	60	con2d 115	. . . . . . 7
62	43, 61	jcad 533	. . . . . 6
63	18, 62	impbid 191	. . . . 5
64		eldif 3485	. . . . 5
65		vex 3112	. . . . . 6
66	65	elintrab 4298	. . . . 5
67	63, 64, 66	3bitr4g 288	. . . 4
68	67	eqrdv 2454	. . 3
69	5, 68	eqtrd 2498	. 2
70	2	compss 8777	. . 3
71	70	inteqi 4290	. 2
72	69, 71	syl6eqr 2516	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  e.cmpt 4510  "cima 5007  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  isf34lem5  8779  isf34lem6  8781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601