Theorem isf34lem6 8781

Description: Lemma for isfin3-4 8783. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a

Assertion

Ref	Expression
isf34lem6

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem isf34lem6

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7460	. . . 4
2		compss.a	. . . . . 6
3	2	isf34lem7 8780	. . . . 5
4	3	3expia 1198	. . . 4
5	1, 4	sylan2 474	. . 3
6	5	ralrimiva 2871	. 2
7		elmapex 7459	. . . . . . . . . . 11
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . 10
9		pwexb 6611	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . . 9
11	2	isf34lem2 8774	. . . . . . . . 9
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8
13		elmapi 7460	. . . . . . . 8
14		fco 5746	. . . . . . . 8
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . 7
16		elmapg 7452	. . . . . . . 8
17	7, 16	syl 16	. . . . . . 7
18	15, 17	mpbird 232	. . . . . 6
19		fveq1 5870	. . . . . . . . . 10
20		fveq1 5870	. . . . . . . . . 10
21	19, 20	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
22	21	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
23		rneq 5233	. . . . . . . . . . 11
24		rnco2 5519	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
26	25	unieqd 4259	. . . . . . . . 9
27	26, 25	eleq12d 2539	. . . . . . . 8
28	22, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7
29	28	rspccv 3207	. . . . . 6
30	18, 29	syl5 32	. . . . 5
31		sscon 3637	. . . . . . . . 9
32	10	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
33	13	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . 12
34	33	elpwid 4022	. . . . . . . . . . 11
35	2	isf34lem1 8773	. . . . . . . . . . 11
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
37		peano2 6720	. . . . . . . . . . . . 13
38		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . 13
39	13, 37, 38	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
40	39	elpwid 4022	. . . . . . . . . . 11
41	2	isf34lem1 8773	. . . . . . . . . . 11
42	32, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
43	36, 42	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
44	31, 43	syl5ibr 221	. . . . . . . 8
45		fvco3 5950	. . . . . . . . . 10
46	13, 45	sylan 471	. . . . . . . . 9
47		fvco3 5950	. . . . . . . . . 10
48	13, 37, 47	syl2an 477	. . . . . . . . 9
49	46, 48	sseq12d 3532	. . . . . . . 8
50	44, 49	sylibrd 234	. . . . . . 7
51	50	ralimdva 2865	. . . . . 6
52		ffn 5736	. . . . . . . . 9
53	12, 52	syl 16	. . . . . . . 8
54		imassrn 5353	. . . . . . . . 9
55		frn 5742	. . . . . . . . . 10
56	12, 55	syl 16	. . . . . . . . 9
57	54, 56	syl5ss 3514	. . . . . . . 8
58		fnfvima 6150	. . . . . . . . 9
59	58	3expia 1198	. . . . . . . 8
60	53, 57, 59	syl2anc 661	. . . . . . 7
61		incom 3690	. . . . . . . . . . . . 13
62		frn 5742	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	13, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
64		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	12, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
66	63, 65	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . . . . . 14
67		df-ss 3489	. . . . . . . . . . . . . 14
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
69	61, 68	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . 12
70		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	13, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
72		peano1 6719	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	72, 73	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14
75	71, 74	eqnetrd 2750	. . . . . . . . . . . . 13
76		dm0rn0 5224	. . . . . . . . . . . . . 14
77	76	necon3bii 2725	. . . . . . . . . . . . 13
78	75, 77	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
79	69, 78	eqnetrd 2750	. . . . . . . . . . 11
80		imadisj 5361	. . . . . . . . . . . 12
81	80	necon3bii 2725	. . . . . . . . . . 11
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
83	2	isf34lem4 8778	. . . . . . . . . 10
84	10, 57, 82, 83	syl12anc 1226	. . . . . . . . 9
85	2	isf34lem3 8776	. . . . . . . . . . 11
86	10, 63, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
87	86	inteqd 4291	. . . . . . . . 9
88	84, 87	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
89	88, 86	eleq12d 2539	. . . . . . 7
90	60, 89	sylibd 214	. . . . . 6
91	51, 90	imim12d 74	. . . . 5
92	30, 91	sylcom 29	. . . 4
93	92	ralrimiv 2869	. . 3
94		isfin3-3 8769	. . 3
95	93, 94	syl5ibr 221	. 2
96	6, 95	impbid2 204	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  cmap 7439  cfin3 8682

This theorem is referenced by:  isfin3-4  8783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-fin4 8688  df-fin3 8689