Theorem isf34lem7 8780

Description: Lemma for isfin3-4 8783. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a

Assertion

Ref	Expression
isf34lem7

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,

Proof of Theorem isf34lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		compss.a	. . . . . . 7
2	1	isf34lem2 8774	. . . . . 6
3	2	adantr 465	. . . . 5
4	3	3adant3 1016	. . . 4
5		ffn 5736	. . . 4
6	4, 5	syl 16	. . 3
7		imassrn 5353	. . . 4
8		frn 5742	. . . . . 6
9	3, 8	syl 16	. . . . 5
10	9	3adant3 1016	. . . 4
11	7, 10	syl5ss 3514	. . 3
12		simp1 996	. . . . 5
13		fco 5746	. . . . . . 7
14	2, 13	sylan 471	. . . . . 6
15	14	3adant3 1016	. . . . 5
16		sscon 3637	. . . . . . . 8
17		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
18		peano2 6720	. . . . . . . . . . 11
19		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
21		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
22		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . 13
23	17, 18, 22	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
24	23	elpwid 4022	. . . . . . . . . . 11
25	1	isf34lem1 8773	. . . . . . . . . . 11
26	21, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
27	20, 26	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
28		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
29	28	adantll 713	. . . . . . . . . 10
30		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12
32	31	elpwid 4022	. . . . . . . . . . 11
33	1	isf34lem1 8773	. . . . . . . . . . 11
34	21, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
35	29, 34	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
36	27, 35	sseq12d 3532	. . . . . . . 8
37	16, 36	syl5ibr 221	. . . . . . 7
38	37	ralimdva 2865	. . . . . 6
39	38	3impia 1193	. . . . 5
40		fin33i 8770	. . . . 5
41	12, 15, 39, 40	syl3anc 1228	. . . 4
42		rnco2 5519	. . . . 5
43	42	inteqi 4290	. . . 4
44	41, 43, 42	3eltr3g 2561	. . 3
45		fnfvima 6150	. . 3
46	6, 11, 44, 45	syl3anc 1228	. 2
47		simpl 457	. . . . . 6
48	7, 9	syl5ss 3514	. . . . . 6
49		incom 3690	. . . . . . . . 9
50		frn 5742	. . . . . . . . . . . 12
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
52		fdm 5740	. . . . . . . . . . . 12
53	3, 52	syl 16	. . . . . . . . . . 11
54	51, 53	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . 10
55		df-ss 3489	. . . . . . . . . 10
56	54, 55	sylib 196	. . . . . . . . 9
57	49, 56	syl5eq 2510	. . . . . . . 8
58		fdm 5740	. . . . . . . . . . 11
59	58	adantl 466	. . . . . . . . . 10
60		peano1 6719	. . . . . . . . . . 11
61		ne0i 3790	. . . . . . . . . . 11
62	60, 61	mp1i 12	. . . . . . . . . 10
63	59, 62	eqnetrd 2750	. . . . . . . . 9
64		dm0rn0 5224	. . . . . . . . . 10
65	64	necon3bii 2725	. . . . . . . . 9
66	63, 65	sylib 196	. . . . . . . 8
67	57, 66	eqnetrd 2750	. . . . . . 7
68		imadisj 5361	. . . . . . . 8
69	68	necon3bii 2725	. . . . . . 7
70	67, 69	sylibr 212	. . . . . 6
71	1	isf34lem5 8779	. . . . . 6
72	47, 48, 70, 71	syl12anc 1226	. . . . 5
73	1	isf34lem3 8776	. . . . . . 7
74	47, 51, 73	syl2anc 661	. . . . . 6
75	74	unieqd 4259	. . . . 5
76	72, 75	eqtrd 2498	. . . 4
77	76, 74	eleq12d 2539	. . 3
78	77	3adant3 1016	. 2
79	46, 78	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700  cfin3 8682

This theorem is referenced by:  isf34lem6  8781  fin34i  8782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-rpss 6580  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-fin4 8688  df-fin3 8689