Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoini2 Unicode version

Theorem isoini2 6235
 Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoini2.1
isoini2.2
Assertion
Ref Expression
isoini2

Proof of Theorem isoini2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6221 . . . . . 6
2 f1of1 5820 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43adantr 465 . . . 4
5 isoini2.1 . . . . 5
6 inss1 3717 . . . . 5
75, 6eqsstri 3533 . . . 4
8 f1ores 5835 . . . 4
94, 7, 8sylancl 662 . . 3
10 isoini 6234 . . . . 5
115imaeq2i 5340 . . . . 5
12 isoini2.2 . . . . 5
1310, 11, 123eqtr4g 2523 . . . 4
14 f1oeq3 5814 . . . 4
1513, 14syl 16 . . 3
169, 15mpbid 210 . 2
17 df-isom 5602 . . . . . . 7
1817simprbi 464 . . . . . 6
1918adantr 465 . . . . 5
20 ssralv 3563 . . . . . 6
2120ralimdv 2867 . . . . 5
227, 19, 21mpsyl 63 . . . 4
23 ssralv 3563 . . . 4
247, 22, 23mpsyl 63 . . 3
25 fvres 5885 . . . . . . 7
26 fvres 5885 . . . . . . 7
2725, 26breqan12d 4467 . . . . . 6
2827bibi2d 318 . . . . 5
2928ralbidva 2893 . . . 4
3029ralbiia 2887 . . 3
3124, 30sylibr 212 . 2
32 df-isom 5602 . 2
3316, 31, 32sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  |cres 5006  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isom`wiso 5594 This theorem is referenced by:  fz1isolem  12510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602
 Copyright terms: Public domain W3C validator