Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2clim.1 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
2clim.2 |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
3 |
|
2clim.3 |
|- ( ph -> G e. V ) |
4 |
|
2clim.5 |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC ) |
5 |
|
2clim.6 |
|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x ) |
6 |
|
2clim.7 |
|- ( ph -> F ~~> A ) |
7 |
|
rphalfcl |
|- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ ) |
8 |
|
breq2 |
|- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) |
9 |
8
|
rexralbidv |
|- ( x = ( y / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) |
10 |
9
|
rspccva |
|- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) |
11 |
5 7 10
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) |
12 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ ) |
13 |
7
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR+ ) |
14 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) ) |
15 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> A ) |
16 |
1 12 13 14 15
|
climi |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) |
17 |
1
|
rexanuz2 |
|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) |
18 |
11 16 17
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) |
19 |
1
|
uztrn2 |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z ) |
20 |
|
an12 |
|- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) |
21 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F ` k ) e. CC ) |
22 |
4
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( G ` k ) e. CC ) |
23 |
21 22
|
abssubd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) ) |
24 |
23
|
breq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) |
25 |
24
|
anbi1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) |
26 |
|
climcl |
|- ( F ~~> A -> A e. CC ) |
27 |
6 26
|
syl |
|- ( ph -> A e. CC ) |
28 |
27
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> A e. CC ) |
29 |
|
rpre |
|- ( y e. RR+ -> y e. RR ) |
30 |
29
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> y e. RR ) |
31 |
|
abs3lem |
|- ( ( ( ( G ` k ) e. CC /\ A e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ y e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
32 |
22 28 21 30 31
|
syl22anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
33 |
25 32
|
sylbid |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
34 |
33
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
35 |
34
|
expimpd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
36 |
20 35
|
syl5bi |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
37 |
19 36
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
38 |
37
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
39 |
38
|
ralimdva |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
40 |
39
|
reximdva |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
41 |
18 40
|
mpd |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) |
42 |
41
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) |
43 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) ) |
44 |
1 2 3 43 27 4
|
clim2c |
|- ( ph -> ( G ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) ) |
45 |
42 44
|
mpbird |
|- ( ph -> G ~~> A ) |