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Theorem 3dim0

Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 3dim0.j 
|- .\/ = ( join ` K )
3dim0.l 
|- .<_ = ( le ` K )
3dim0.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 3dim0 
|- ( K e. HL -> E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3dim0.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
2 3dim0.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 3dim0.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 eqid 
 |-  (
5 1 4 3 athgt 
 |-  ( K e. HL -> E. p e. A E. q e. A ( p (
6 df-3an 
 |-  ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) )
7 simpll1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> K e. HL )
8 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 8 1 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) )
10 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) )
11 simplr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> r e. A )
12 8 2 1 4 3 cvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) /\ r e. A ) -> ( -. r .<_ ( p .\/ q ) <-> ( p .\/ q ) (
13 7 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( -. r .<_ ( p .\/ q ) <-> ( p .\/ q ) (
14 13 anbi2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) ) <-> ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (
15 7 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> K e. Lat )
16 8 3 atbase 
 |-  ( r e. A -> r e. ( Base ` K ) )
17 16 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> r e. ( Base ` K ) )
18 8 1 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) /\ r e. ( Base ` K ) ) -> ( ( p .\/ q ) .\/ r ) e. ( Base ` K ) )
19 15 10 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( ( p .\/ q ) .\/ r ) e. ( Base ` K ) )
20 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> s e. A )
21 8 2 1 4 3 cvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) e. ( Base ` K ) /\ s e. A ) -> ( -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) <-> ( ( p .\/ q ) .\/ r ) (
22 7 19 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) <-> ( ( p .\/ q ) .\/ r ) (
23 14 22 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (
24 6 23 syl5bb 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) /\ s e. A ) -> ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (
25 24 rexbidva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) -> ( E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> E. s e. A ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (
26 r19.42v 
 |-  ( E. s e. A ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (  ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (
27 anass 
 |-  ( ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (  ( p =/= q /\ ( ( p .\/ q ) (
28 26 27 bitri 
 |-  ( E. s e. A ( ( p =/= q /\ ( p .\/ q ) (  ( p =/= q /\ ( ( p .\/ q ) (
29 25 28 syl6bb 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) /\ r e. A ) -> ( E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( p =/= q /\ ( ( p .\/ q ) (
30 29 rexbidva 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> E. r e. A ( p =/= q /\ ( ( p .\/ q ) (
31 r19.42v 
 |-  ( E. r e. A ( p =/= q /\ ( ( p .\/ q ) (  ( p =/= q /\ E. r e. A ( ( p .\/ q ) (
32 30 31 syl6bb 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( p =/= q /\ E. r e. A ( ( p .\/ q ) (
33 1 4 3 atcvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( p =/= q <-> p (
34 33 anbi1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( ( p =/= q /\ E. r e. A ( ( p .\/ q ) (  ( p (
35 32 34 bitrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( p (
36 35 3expb 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> ( p (
37 36 2rexbidva 
 |-  ( K e. HL -> ( E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) <-> E. p e. A E. q e. A ( p (
38 5 37 mpbird 
 |-  ( K e. HL -> E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) )