Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V ) |
2 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
3 |
|
elnn0uz |
|- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
4 |
2 3
|
mpbi |
|- 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) |
5 |
|
3nn0 |
|- 3 e. NN0 |
6 |
|
elnn0uz |
|- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
7 |
5 6
|
mpbi |
|- 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) |
8 |
|
uzss |
|- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) ) |
9 |
7 8
|
ax-mp |
|- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) |
10 |
9
|
sseli |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
11 |
|
eluzfz |
|- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) ) |
12 |
4 10 11
|
sylancr |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) ) |
14 |
1 13
|
ffvelrnd |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V ) |
15 |
|
clel5 |
|- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a ) |
16 |
14 15
|
sylib |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a ) |
17 |
|
1eluzge0 |
|- 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) |
18 |
|
1z |
|- 1 e. ZZ |
19 |
|
3z |
|- 3 e. ZZ |
20 |
|
1le3 |
|- 1 <_ 3 |
21 |
|
eluz2 |
|- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) ) |
22 |
18 19 20 21
|
mpbir3an |
|- 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) |
23 |
|
uzss |
|- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) ) |
24 |
22 23
|
ax-mp |
|- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) |
25 |
24
|
sseli |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
26 |
|
eluzfz |
|- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) ) |
27 |
17 25 26
|
sylancr |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) ) |
29 |
1 28
|
ffvelrnd |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V ) |
30 |
|
clel5 |
|- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) |
31 |
29 30
|
sylib |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) |
32 |
16 31
|
jca |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) ) |
33 |
|
2eluzge0 |
|- 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) |
34 |
|
uzuzle23 |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
35 |
|
eluzfz |
|- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) ) |
36 |
33 34 35
|
sylancr |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) ) |
38 |
1 37
|
ffvelrnd |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V ) |
39 |
|
clel5 |
|- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c ) |
40 |
38 39
|
sylib |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c ) |
41 |
|
eluzfz |
|- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) ) |
42 |
7 41
|
mpan |
|- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) ) |
44 |
1 43
|
ffvelrnd |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V ) |
45 |
|
clel5 |
|- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) |
46 |
44 45
|
sylib |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) |
47 |
32 40 46
|
jca32 |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
48 |
|
r19.42v |
|- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
49 |
|
r19.42v |
|- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) |
50 |
49
|
anbi2i |
|- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
51 |
48 50
|
bitri |
|- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
52 |
51
|
rexbii |
|- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
53 |
52
|
2rexbii |
|- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
54 |
|
r19.42v |
|- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
55 |
|
r19.41v |
|- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) |
56 |
55
|
anbi2i |
|- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
57 |
54 56
|
bitri |
|- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
58 |
57
|
2rexbii |
|- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
59 |
|
r19.41v |
|- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
60 |
|
r19.42v |
|- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) ) |
61 |
60
|
anbi1i |
|- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
62 |
59 61
|
bitri |
|- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
63 |
62
|
rexbii |
|- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
64 |
|
r19.41v |
|- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
65 |
|
r19.41v |
|- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) ) |
66 |
65
|
anbi1i |
|- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
67 |
63 64 66
|
3bitri |
|- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
68 |
53 58 67
|
3bitri |
|- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) ) |
69 |
47 68
|
sylibr |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) ) |