Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2cn |
|- 2 e. CC |
2 |
|
simpll |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR ) |
3 |
|
simprl |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR ) |
4 |
|
remulcl |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
5 |
2 3 4
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
6 |
|
mulge0 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) |
7 |
|
resqrtcl |
|- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. RR ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. RR ) |
9 |
8
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. CC ) |
10 |
|
sqmul |
|- ( ( 2 e. CC /\ ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) ) |
11 |
1 9 10
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) ) |
12 |
|
sq2 |
|- ( 2 ^ 2 ) = 4 |
13 |
12
|
oveq1i |
|- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) |
14 |
5
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. CC ) |
15 |
|
sqrtth |
|- ( ( A x. B ) e. CC -> ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 4 x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) ) |
18 |
13 17
|
eqtrid |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) ) |
19 |
11 18
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) ) |
20 |
2 3
|
resubcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A - B ) e. RR ) |
21 |
20
|
sqge0d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) ^ 2 ) ) |
22 |
2
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC ) |
23 |
3
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC ) |
24 |
|
binom2 |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |
25 |
22 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |
26 |
|
binom2sub |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |
27 |
22 23 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A - B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |
28 |
25 27
|
oveq12d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( ( A - B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) ) |
29 |
2
|
resqcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR ) |
30 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
31 |
|
remulcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ ( A x. B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. RR ) |
32 |
30 5 31
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. RR ) |
33 |
29 32
|
readdcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. RR ) |
34 |
33
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC ) |
35 |
29 32
|
resubcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. RR ) |
36 |
35
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC ) |
37 |
3
|
resqcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B ^ 2 ) e. RR ) |
38 |
37
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC ) |
39 |
34 36 38
|
pnpcan2d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) - ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) ) |
40 |
32
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC ) |
41 |
40
|
2timesd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. ( A x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) |
42 |
|
2t2e4 |
|- ( 2 x. 2 ) = 4 |
43 |
42
|
oveq1i |
|- ( ( 2 x. 2 ) x. ( A x. B ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) |
44 |
|
2cnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 2 e. CC ) |
45 |
44 44 14
|
mulassd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) |
46 |
43 45
|
eqtr3id |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 4 x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) |
47 |
29
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC ) |
48 |
47 40 40
|
pnncand |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) - ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) |
49 |
41 46 48
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) - ( ( A ^ 2 ) - ( 2 x. ( A x. B ) ) ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) ) |
50 |
28 39 49
|
3eqtrd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( ( A - B ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) ) |
51 |
2 3
|
readdcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. RR ) |
52 |
51
|
resqcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. RR ) |
53 |
52
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC ) |
54 |
20
|
resqcld |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A - B ) ^ 2 ) e. RR ) |
55 |
54
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A - B ) ^ 2 ) e. CC ) |
56 |
|
4re |
|- 4 e. RR |
57 |
|
remulcl |
|- ( ( 4 e. RR /\ ( A x. B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( A x. B ) ) e. RR ) |
58 |
56 5 57
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 4 x. ( A x. B ) ) e. RR ) |
59 |
58
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 4 x. ( A x. B ) ) e. CC ) |
60 |
|
subsub23 |
|- ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( 4 x. ( A x. B ) ) e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( ( A - B ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) <-> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( A x. B ) ) ) = ( ( A - B ) ^ 2 ) ) ) |
61 |
53 55 59 60
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( ( A - B ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( A x. B ) ) <-> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( A x. B ) ) ) = ( ( A - B ) ^ 2 ) ) ) |
62 |
50 61
|
mpbid |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( A x. B ) ) ) = ( ( A - B ) ^ 2 ) ) |
63 |
21 62
|
breqtrrd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( A x. B ) ) ) ) |
64 |
52 58
|
subge0d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 <_ ( ( ( A + B ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( A x. B ) ) ) <-> ( 4 x. ( A x. B ) ) <_ ( ( A + B ) ^ 2 ) ) ) |
65 |
63 64
|
mpbid |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 4 x. ( A x. B ) ) <_ ( ( A + B ) ^ 2 ) ) |
66 |
19 65
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A + B ) ^ 2 ) ) |
67 |
|
remulcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) e. RR ) |
68 |
30 8 67
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) e. RR ) |
69 |
|
sqrtge0 |
|- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) |
70 |
5 6 69
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) |
71 |
|
0le2 |
|- 0 <_ 2 |
72 |
|
mulge0 |
|- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ) |
73 |
30 71 72
|
mpanl12 |
|- ( ( ( sqrt ` ( A x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ) |
74 |
8 70 73
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ) |
75 |
|
addge0 |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) ) |
76 |
75
|
an4s |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) ) |
77 |
68 51 74 76
|
le2sqd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) <_ ( A + B ) <-> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A + B ) ^ 2 ) ) ) |
78 |
66 77
|
mpbird |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) <_ ( A + B ) ) |
79 |
|
2rp |
|- 2 e. RR+ |
80 |
79
|
a1i |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 2 e. RR+ ) |
81 |
8 51 80
|
lemuldiv2d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( 2 x. ( sqrt ` ( A x. B ) ) ) <_ ( A + B ) <-> ( sqrt ` ( A x. B ) ) <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) ) |
82 |
78 81
|
mpbid |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqrt ` ( A x. B ) ) <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) |