Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
2 |
|
simpl |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> A e. CC ) |
3 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC ) |
4 |
1 2 3
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( _i x. A ) e. CC ) |
5 |
4
|
recld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( _i x. A ) ) e. RR ) |
6 |
5
|
reefcld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) e. RR ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) |
8 |
|
neghalfpirx |
|- -u ( _pi / 2 ) e. RR* |
9 |
|
halfpire |
|- ( _pi / 2 ) e. RR |
10 |
9
|
rexri |
|- ( _pi / 2 ) e. RR* |
11 |
|
elioo2 |
|- ( ( -u ( _pi / 2 ) e. RR* /\ ( _pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) <-> ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( _pi / 2 ) < ( Re ` A ) /\ ( Re ` A ) < ( _pi / 2 ) ) ) ) |
12 |
8 10 11
|
mp2an |
|- ( ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) <-> ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( _pi / 2 ) < ( Re ` A ) /\ ( Re ` A ) < ( _pi / 2 ) ) ) |
13 |
7 12
|
sylib |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( _pi / 2 ) < ( Re ` A ) /\ ( Re ` A ) < ( _pi / 2 ) ) ) |
14 |
13
|
simp1d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR ) |
15 |
14
|
recoscld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( Re ` A ) ) e. RR ) |
16 |
|
efgt0 |
|- ( ( Re ` ( _i x. A ) ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) ) |
17 |
5 16
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> 0 < ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) ) |
18 |
|
cosq14gt0 |
|- ( ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` ( Re ` A ) ) ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> 0 < ( cos ` ( Re ` A ) ) ) |
20 |
6 15 17 19
|
mulgt0d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> 0 < ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( cos ` ( Re ` A ) ) ) ) |
21 |
|
efeul |
|- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) |
22 |
4 21
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) |
23 |
22
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( Re ` ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) ) |
24 |
4
|
imcld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( _i x. A ) ) e. RR ) |
25 |
24
|
recoscld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) e. RR ) |
26 |
25
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) e. CC ) |
27 |
24
|
resincld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) e. RR ) |
28 |
27
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) e. CC ) |
29 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) e. CC ) |
30 |
1 28 29
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) e. CC ) |
31 |
26 30
|
addcld |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) e. CC ) |
32 |
6 31
|
remul2d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) ) |
33 |
25 27
|
crred |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) |
34 |
|
imre |
|- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( Im ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u _i x. ( _i x. A ) ) ) ) |
35 |
4 34
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u _i x. ( _i x. A ) ) ) ) |
36 |
1 1
|
mulneg1i |
|- ( -u _i x. _i ) = -u ( _i x. _i ) |
37 |
|
ixi |
|- ( _i x. _i ) = -u 1 |
38 |
37
|
negeqi |
|- -u ( _i x. _i ) = -u -u 1 |
39 |
|
negneg1e1 |
|- -u -u 1 = 1 |
40 |
36 38 39
|
3eqtri |
|- ( -u _i x. _i ) = 1 |
41 |
40
|
oveq1i |
|- ( ( -u _i x. _i ) x. A ) = ( 1 x. A ) |
42 |
|
negicn |
|- -u _i e. CC |
43 |
42
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> -u _i e. CC ) |
44 |
1
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> _i e. CC ) |
45 |
43 44 2
|
mulassd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( -u _i x. _i ) x. A ) = ( -u _i x. ( _i x. A ) ) ) |
46 |
|
mulid2 |
|- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( 1 x. A ) = A ) |
48 |
41 45 47
|
3eqtr3a |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( -u _i x. ( _i x. A ) ) = A ) |
49 |
48
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( -u _i x. ( _i x. A ) ) ) = ( Re ` A ) ) |
50 |
35 49
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` A ) ) |
51 |
50
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) = ( cos ` ( Re ` A ) ) ) |
52 |
33 51
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) = ( cos ` ( Re ` A ) ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( _i x. A ) ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( cos ` ( Re ` A ) ) ) ) |
54 |
23 32 53
|
3eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) x. ( cos ` ( Re ` A ) ) ) ) |
55 |
20 54
|
breqtrrd |
|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( _pi / 2 ) (,) ( _pi / 2 ) ) ) -> 0 < ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) ) |