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Theorem ballotlemimin

Description: ( IC ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016) (Revised by AV, 6-Oct-2020)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
Assertion ballotlemimin 
|- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 elfzle2 
 |-  ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
10 9 adantl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
11 elfzelz 
 |-  ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ZZ )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13 12 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14 elfznn 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
15 13 14 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
16 15 nnzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17 zltlem1 
 |-  ( ( k e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
18 11 16 17 syl2anr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
19 10 18 mpbird 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k < ( I ` C ) )
20 19 adantr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> k < ( I ` C ) )
21 1zzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
22 16 21 zsubcld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
23 22 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
24 nnaddcl 
 |-  ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
25 1 2 24 mp2an 
 |-  ( M + N ) e. NN
26 25 a1i 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. NN )
27 26 nnred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
28 elfzle2 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
29 13 28 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
30 26 nnzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
31 zlem1lt 
 |-  ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
32 16 30 31 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
33 29 32 mpbid 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) )
34 23 27 33 ltled 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
35 eluz 
 |-  ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
36 22 30 35 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
37 34 36 mpbird 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
38 fzss2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39 37 38 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
40 39 sseld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) )
41 rabid 
 |-  ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
42 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemsup 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
43 ltso 
 |-  < Or RR
44 43 a1i 
 |-  ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> < Or RR )
45 id 
 |-  ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
46 44 45 inflb 
 |-  ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
47 42 46 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
48 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemi 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
49 48 breq2d 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
50 49 notbid 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( -. k < ( I ` C ) <-> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
51 47 50 sylibrd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < ( I ` C ) ) )
52 41 51 syl5bir 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
53 40 52 syland 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
54 53 imp 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
55 biid 
 |-  ( k < ( I ` C ) <-> k < ( I ` C ) )
56 54 55 sylnib 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
57 56 anassrs 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) )
58 20 57 pm2.65da 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
59 58 nrexdv 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )